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| Aufgabe | Hallo, ich hätte noch eine Frage bitte: 
Der kleinste Abstand von einer Matrix A zu einer MAtrix [mm] A_k [/mm] vom Rang k beträgt [mm] \sigma_{k+1}, [/mm] dabei bezeichnet [mm] \sigma_{k+1} [/mm] den k+1-ten Singulärwert. Das bedeutet: min [mm] \parallel A-B_i\parallel_2=\sigma_{k+1} [/mm] wobei [mm] Rang(B_i)=k \forall [/mm] i und die gesuchte Matrix ist die im k-ten Schritt abgebrochene SVD-Entwicklung. Wer weiß wie groß dieser Abstand in der Zeilensummennorm ist.
Vielen Dank |
Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:23 Mi 15.08.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Hast du irgendeine Idee, wie du das ganze angehen könntest.
Was z.B. heisst es, dass eine Matrix den Rang k hat? Was bedeutet die Aussage, dass [mm] $min(\parallel A-B_i\parallel_2)=\sigma_{k+1} [/mm] $
Dann versuch dann doch mal, den Abstand mit der Gesuchten Zeilensummennorm zu bestimmen.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:11 Do 16.08.2007 | | Autor: | viktory_hh |
| Aufgabe | Hallo, leider habe ich keine Zeit jetzt meine alle Berechnungen hier im Formeleditor einzugeben. Ich bin auch der Meinung alle Ansätze von mir waren nicht richtig. Ich habe also keine Ahnung wie ich das angehen könnte. Wenn ich nur den Ansatz wüsste, würde es schon mal ausreichen. Denkst Du ich mir hier einfach die L"osungen erschleichen???
Ich kenne schon viel um das gefragte Thema. Aber das was ich kenne hilft mir leider nicht weiter!
Also stelle ich diese Frage als unbeantwortet.
Danke |
Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:43 Do 16.08.2007 | | Autor: | Bastiane |
Hallo viktory_hh!
> Hallo, leider habe ich keine Zeit jetzt meine alle
> Berechnungen hier im Formeleditor einzugeben. Ich bin auch
Du kannst sie auch einscannen - geht schneller!
> der Meinung alle Ansätze von mir waren nicht richtig. Ich
Das können wir dir erst sagen, wenn wir sie kennen. Und evtl. haben wir ja nur die gleichen Ansätze - wenn du eh der Meinung bist, dass sie falsch sind, dann brauchen wir die ja gar nicht erst zu posten. Aber wenn wir deine Ansätze nicht kennen - wissen wir nicht, ob es lohnt, sie zu posten, oder ob du sie eh schon als falsch abgelegt hast...
Und weißt du eigentlich, dass der obige Kasten nur für die exakte Fragestellung ist? Steht da nicht extra dick und fett bitte keine eigenen Formulierungen???
Viele Grüße
Bastiane
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:35 Fr 17.08.2007 | | Autor: | viktory_hh |
Hallo Bastiane,
z.B. habe ich versucht erstmal: ganz normal kann man alle Normen so zusagen in einander überführen/abschätzen. Es gilt [mm] \parallel A\parallel_2>=\parallel A\parallel_\infty*\wurzel{n}, [/mm] wobei n Anzahl der Spalten in A ist. Da es bei mir aber sehr sehr große Matrizen sind, z.B. 1000x1000 entstehen da sehr große Abschätzungen und die bringen mich dann nicht wirklich weiter.
O.K. Dann habe ich etwas gerechnet: [mm] A=USV^T [/mm] (Singulärwertzerlegung)
[mm] A_k=U_kS_kV_k^T, [/mm] wobei hier jeweils nur die ersten k Vektoren der obigen entsprechender Matrizen genommen werden.
Dann also: [mm] A-A_k=U_{k+1}S_{k+1}V_{k+1}^T [/mm] --> [mm] \parallel A-A_k\parallel= \parallel U_{k+1}S_{k+1}V_{k+1}^T\parallel=s_{k+1}, [/mm] der maximale Singulärwert. Nun ist die Zeilensummennorm bekanntlich die maximale Summe der Zeilenbeträge. Also suche ich nach [mm] max_i \sum_{j=k+1}^n |U_{ij}|*|S_j|*|V_j|^T, [/mm] wobei die Beträge also Komponentenweise gemeint sind.
Und nun kommst: alles ist jetzt davon abhängig wie groß die einzelnen Vektorkomponenten von [mm] U_{k+1},...,U_{n} [/mm] + die entsprechenden Singulärwerte sind? O.K. die Singulärwerte nehmen kontinuierlich ab. Ab einem Punkt würde ich den Rest vernachlässigen. Aber wenigstens die ersten irgendwie abzuschätzen? Na ja ich muss dazu noch sagen, ich Suche RIGOROSE Schranken für die Norm, sprich das was Rechner numerisch berechnet ist in "meinen" Augen nur Mist. (Obwohl das nur selten so ist, aber so muss ich laut meines Zieles immer davor ausgehen). Also kenne ich im Prinzip die Singulärvektoren nicht! Würde ich sie kennen, entfällt der ganze Salat hier.
Deswegen war die Frage so gestellt, wenn jemand zufällig irgendwelche Abschätzungen dafür kennt, könnte sie mir bitte posten.
Die anderen Rechnungen sind einfach nur peinlich und ich möchte sie hier nicht stellen. Da habe ich einfach falsche Überlegungen gemacht.
Die andere Frage, die sich hier nun stellt, kann ich ausgehend von der Zweiernorm irgendwie auf die einzelnen Matrixkomponenten schließen, sprich in welchem Bereich sie liegen könnten? Für mich sieht das im Moment nicht möglich. Ich kenne z.B. nur die Abschätzung: Wenn As=A+E dann sind
die Singulärwerte von As und A wie folgt begrenzt: [mm] |s(A)_i-s(As)_i|<=\parallel E\parallel_2. [/mm] Das beudetet kenne ich die Einschließung für alle Singulärwerte, kann ich nur die untere Schranke für E angeben. Aber wie ist für die obere?
Na ja hier also meine einfachen "blöden" Überlegungen.
bis dann
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:23 Fr 17.08.2007 | | Autor: | Bastiane |
Hallo viktory_hh!
> Achso, habe bis jetzt keinen Unterschied gemacht zwischen
> den Kästen. Wozu sind den überhaupt zwei Stück da? Und
Na, der obere ist halt nur für die exakte Aufgabenstellung. Ich weiß nicht, ob es jetzt schon funktioniert, aber spätestens in Zukunft soll das das Finden von Aufgaben erleichtern. Denn in Aufgabenstellungen kommen ja doch andere Wörter vor als man so selbst von sich gibt, und wenn im oberen Kasten nur die exakte Aufgabenstellung steht, braucht man nur dort danach suchen zu lassen. Oder so ähnlich - kannst ja mal bei Marc nachfragen, wie das genau gedacht war.
> im unteren werden doch nicht automatisch in
> Mathematikmodus umgeschaltet, oder irre ich mich da? Aus
> dem Grund mache um mir keine großen Umstände zu machen,
> immer alles im oeberen Kasten. 
Was meinst du mit "Mathematikmodus"? Formeln kannst du immer und überall tippen (außer in den Überschriften) - und so weit ich weiß auch ohne irgendwelche Dollarzeichen oder so drumherum zu machen. Die mache ich nur manchmal bei Formeln, wo er sonst nur Teile als Formel nimmt, damit's schöner aussieht.
Viele Grüße
Bastiane
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:59 Fr 17.08.2007 | | Autor: | viktory_hh |
Schaade nur, dass nicht alle Laatex-Befehle funktionieren :-( und besonders nicht optimal finde ich, dass einige Befehle durch andere ersetzt wurden.
bis dann
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:34 So 19.08.2007 | | Autor: | Bastiane |
Hallo viktory_hh!
> Schaade nur, dass nicht alle Laatex-Befehle funktionieren
Welche funktionieren denn nicht?
> :-( und besonders nicht optimal finde ich, dass einige
> Befehle durch andere ersetzt wurden.
Und welche wurden so ersetzt, dass sie hier nicht auch funktionieren?
Viele Grüße
Bastiane
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