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| Aufgabe | | Es sei G eine Gruppe und [mm] Z=\{z\in G | f"ur\; alle\; x \in G \;ist\; xz=zx \;der\; Fall \} [/mm] die Menge aller derjenigen Elemente von G, die mit allen anderen Elementen von G kommutieren. Man zeige, dass Z ein Normalteiler von G ist. |
Ist die Behauptung nicht schon in Z enthalten, dass es ein Normalteiler ist??
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Hallo Piccolo,
> Es sei G eine Gruppe und [mm]Z=\{z\in G | f"ur\; alle\; x \in G \;ist\; xz=zx \;der\; Fall \}[/mm]
> die Menge aller derjenigen Elemente von G, die mit allen
> anderen Elementen von G kommutieren. Man zeige, dass Z ein
> Normalteiler von G ist.
> Ist die Behauptung nicht schon in Z enthalten, dass es ein
> Normalteiler ist??
Nein nicht ganz, die Normateilereigenschaft folgt aber unmittelbar aus der Definition von Z.
Zeige zunächst mal, dass $Z=Z(G)$ überhaupt eine Untergruppe von $G$ ist.
Dann zeige die Normalteilereigensdhaft [mm] $xZx^{-1}\subset [/mm] Z$ für jedes [mm] $x\in [/mm] G$
Nimm dir dazu ein bel. [mm] $a\in [/mm] Z$ her und schreibe es direkt hin (1 Zeile)
LG
schachuzipus
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