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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:26 Mi 05.04.2006 | | Autor: | cycilia |
G Gruppe, N [mm] \subset [/mm] G Normalteiler, so dass N [mm] \cap [/mm] [G,G] = {e}
Hierbei beschreibt e das Neutralelement von G und [G,G] die Kommutatorgruppe von G = [mm] {aba^{-1}b^{-1}, a,b \in G}
[/mm]
N ist im Zentrum von G enthalten.
Warum?
Die Fälle N = {e} oder [G,G]= {e} sind klar. Aber der Fall N und
[G,G] [mm] \not= [/mm] {e} ist mir leider nicht klar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:53 Mi 05.04.2006 | | Autor: | statler |
Guten Tag Anja!
> G Gruppe, N [mm]\subset[/mm] G Normalteiler, so dass N [mm]\cap[/mm] [G,G]
> = {e}
> Hierbei beschreibt e das Neutralelement von G und [G,G]
> die Kommutatorgruppe von G = [mm]{aba^{-1}b^{-1}, a,b \in G}[/mm]
> N
> ist im Zentrum von G enthalten.
Sei n aus N beliebig. dann ist zu zeigen ng = gn für alle g aus G.
Das ist genau dann der Fall, wenn [mm] g^{-1}ng [/mm] = n ist oder [mm] n^{-1} g^{-1}ng [/mm] = e.
Da N ein Normalteiler ist, ist [mm] g^{-1}ng [/mm] in N und [mm] n^{-1} [/mm] auch, da es natürlich eine U-Gruppe ist. Also ist das Produkt in N und wegen seiner Form auch in [G,G], also = e.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:05 Mi 05.04.2006 | | Autor: | cycilia |
Danke! --sorry es sollte nicht wieder als frage angezeigt werden....
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