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Hallo,
ich habe eine Frage zum Zentrum:
Sei (G,*) Gruppe, Z das Zentrum, [mm] M_{g} [/mm] der Normalisator von g, [mm] g\in [/mm] G aber [mm] g\notin [/mm] Z.
Man soll zeigen, dass [mm] Z\subset M_{g}, [/mm] aber nicht [mm] Z=M_{g}. [/mm]
Hat jemand ne Idee, wie man das zeigen kann. Anschaulich ist das ja ziemlich kalr, da [mm] M_{g} [/mm] Elemente enthält, die mit g vertauschbar sind und Z Elemente g enthält, die mit allen Elementen aus G vertauschbar sind.
Um z.z., dass [mm] Z\not=G [/mm] gilt, muss man ja nur nur ein Element finden, das in [mm] M_{g} [/mm] ist, aber nicht in Z und das ist doch gerade g selber oder?
Bitte um Hilfe.
Viele Grüße
Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:02 Fr 18.11.2005 | | Autor: | Clemens |
Hallo Daniel!
> Anschaulich
> ist das ja ziemlich kalr, da [mm]M_{g}[/mm] Elemente enthält, die
> mit g vertauschbar sind und Z Elemente g enthält, die mit
> allen Elementen aus G vertauschbar sind.
Das ist nicht nur anschaulich klar, sondern an dieser Stelle von dir sehr mathematisch formuliert und einfach richtig. Nur zwei kleine Fehler, so ist es ganz richtig:
"... klar, dass [mm]M_{g}[/mm] alle Elemente enthält, ..."
"... und Z nur Elemente g enthält, ..."
> Um z.z., dass [mm]Z\not=G[/mm] gilt, muss man ja nur nur ein Element
> finden, das in [mm]M_{g}[/mm] ist, aber nicht in Z und das ist doch
> gerade g selber oder?
Richtig! Aufgabe gelöst!
> Bitte um Hilfe.
Die brauchst du gar nicht.
Gruß Clemens
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:35 Fr 18.11.2005 | | Autor: | mathmetzsch |
Hallo,
gut dann wäre das ja schon mal geklärt. Und was ist, wenn ich jetzt [mm] M_{g} [/mm] und G betrachte. Dann ist klar, dass [mm] M_{g}\subset [/mm] G gilt, aber wie sehe ich, dass [mm] M_{g}\not=G [/mm] ? Ich finde einfach kein Element, dass in G, aber nicht in [mm] M_{g} [/mm] ist.
Kann mir da vielleicht noch jemand helfen?
VG Daniel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:23 Fr 18.11.2005 | | Autor: | Clemens |
Hallo Daniel!
Was willst du eigentlich zeigen?
[mm]Z\not=M_{g}[/mm]
oder
[mm]Z\not=G[/mm]
oder
[mm]G\not=M_{g}[/mm]
?
Gruß Clemens
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Hallo Clemens,
ich soll [mm] Z\subset M_{g}\subset [/mm] G zeigen. Ich bin dabei so vorgegangen, dass ich zuerst zeige, dass [mm] Z\subset M_{g} [/mm] und [mm] M_{g}\subset [/mm] G. Dann suche ich mir jeweils Elemente aus [mm] M_{g} [/mm] bzw. G, die nicht in Z bzw. in [mm] M_{g} [/mm] enthalten sind und habe damit gezeigt, dass die Mengen jeweils nicht gleich sein können. Und dann sollte ich doch fertig sein, oder?
Mir fehlt jetzt noch der Beweis, dass [mm] M{g}\not=G [/mm] .
Vielleicht könnte mir da noch jemand einen Tipp geben, welches Element hierfür heißer Kandidat ist.
VG Daniel
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> Mir fehlt jetzt noch der Beweis, dass [mm]M{g}\not=G[/mm] .
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> Vielleicht könnte mir da noch jemand einen Tipp geben,
> welches Element hierfür heißer Kandidat ist.
Hallo,
fassen wir einmal kurz zusammen:
Z:= { x [mm] \in [/mm] G : xy=yx für alle y [mm] \in [/mm] G },
[mm] M_g:= [/mm] { x [mm] \in [/mm] G : xg=yg }.
Nach Voraussetzung ist g [mm] \not\in [/mm] Z.
Offensichtlich ist Z [mm] \subseteq M_g, [/mm] ebenso offensichtlich ist g [mm] \in M_g, [/mm] und weil g nach Voraussetzung [mm] \not\in [/mm] Z, sind die beiden Mengen nicht gleich.
Was bedeutet denn g [mm] \not\in [/mm] Z?
Wenn g [mm] \not\in [/mm] G, gibt es ein Element h [mm] \in [/mm] G mit gh [mm] \not= [/mm] hg.
Also ist h [mm] \not\in M_g, [/mm] und somit sind [mm] M_g [/mm] und G nicht gleich.
Gruß v. Angela
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Vielen Dank euch beiden.
VG Daniel
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