Zentrum von GLK(V) < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:16 Di 13.12.2005 | | Autor: | Willi |
| Aufgabe | Es sei V ein endlich-dimensionaler VEktorraum über einem Körper K. Ziel dieser Aufgabe ist es, das Zentrum [mm] Zent(GL_{k}(V)):= [/mm] {F [mm] \in GL_{k}(V): [/mm] F [mm] \circ [/mm] G= G [mm] \circ [/mm] F} der Gruppe [mm] GL_{k}(V) [/mm] zu bestimmen. Dazu sei F [mm] \in Zent(GL_{k}(V)) [/mm] beliebig. Dann zeige man:
(a) Für jedes v [mm] \in [/mm] V ist die Menge {v, F(v)} linear abhängig.
[Tipp: Unter der Annahme, dass {v, F(v)} linear unabhängig wäre, zeige man, das es ein G [mm] \in GL_{k}(V) [/mm] mit G(v)=v und G(F(v))=v+F(v) gäbe. Nach Vorraussetzung gilt dann G(F(v))=F(G(v)); diese Gleichung führe man auf einen Widerspruch.]
(b) Es existiert [mm] \lambda \in [/mm] K\ {0} mit F= [mm] \lambda id_{v}. [/mm]
[Tipp: Man beweise die folgenden Behauptungen: Wegen (a) gibt es zu jedem v [mm] \in [/mm] V \ {0} genau (!) ein [mm] \lambda_{v} \in [/mm] K \ {0} mit [mm] F(v)=\lambda_{v} \*v. [/mm] Wäre nun [mm] \lambda_{v} \not= \lambda_{w} [/mm] für gewisse v,w [mm] \in [/mm] V \ {0}, so sind v und w jedenfalls linear unabhängig.
Außerdem gilt dann
[mm] \lambda_{v+w}\*(v+w) [/mm] = F(v+w)=F(v) + F(w)= [mm] \lambda_{v}\*v [/mm] + [mm] \lambda_{w}\*w, [/mm] woraus ein Widerspruch zur ANnahme folgt. Daruas folgt (b).]
Hieraus folgere man [mm] Zent(GL_{k}(V))= \{\lambda id_{v}| \lambda \in K \ {0}}. [/mm] |
Hey Leute,
kann man mir vielleicht irgendwie bei dieser schreklichen Aufgabe helfen?
Habe leider (trotz Tipp) keine Ahnung wie ich das beweisen soll.
Wie soll ich z.B. diese lineare abhängigkeit beweisen? Hier bei dieser Aufgabe krieg ich das irgendwie nicht hin.
Bin dankbar für alle Hinweise/Tipps/Antworten.
DANKE.
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Hallo Willi,
zum ersten Teil:
wenn v und F(v) lin. unabh. w"aren, so koennte man sie erweitern zu einer
Basis v, F(v), [mm] v_3,.... [/mm] von V "uber K. Dann kann man zB
G(v)=v , G(F(v))= v+F(v), [mm] G(v_j)=v_j [/mm] für [mm] j\geq [/mm] 3 setzen, dies definiert eine lineare Abb.
[mm] G:V\to [/mm] V, und da v und F(v) laut Ann. lin. unabh. sind, ist auch [mm] G\in GL_K(V). [/mm]
Zum zweiten Teil:
Wir wissen also, dass v,F(v) lin. abh. sind. Aber das heisst doch gerade, dass es
[mm] \lambda_v [/mm] gibt mit [mm] F(v)=\lambda \cdot [/mm] v.
Waehle wieder eine Basis von V, zB [mm] e_i,i=1,2,.....
[/mm]
Dann ist -weil F ja insb. linear ist - fuer alle i und alle [mm] v=a\cdot e_i, a\in [/mm] K
[mm] \lambda_v=\lambda_{e_i}
[/mm]
Nun muss man nur noch zeigen, dass fuer [mm] i\neq [/mm] j auch [mm] \lambda_i=\lambda_j [/mm] gilt,
aber der Beweis steht doch dort schon.
Gruss,
Mathias
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