Zerfällungskörper < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Galoisgruppe von [mm] f(x)=(x^{2}+1)(x^{3}+3) \in \IQ[x] [/mm] |
Hi,
hab nur ne kurze Frage.
Nullstellen von [mm] f(x)=\{i,-i\}\{-\wurzel[3]{3},-\zeta\wurzel[3]{3},-\zeta^{2}\wurzel[3]{3}\}; \zeta=exp(\bruch{2\pi*i}{3})
[/mm]
Zerfällungskörper von f wäre dann [mm] \IQ(i,\wurzel[3]{3},\zeta)
[/mm]
Könnte man den Zerfällungskörper nicht noch ein wenig reduzieren? Z.B. da ja gilt [mm] \IQ(\zeta)=\IQ(i\wurzel{3}), [/mm] also vllt. reduzieren auf [mm] \IQ(\wurzel[3]{3},i\wurzel{3})? [/mm] Habe jetzt ewig dran rumprobiert und bin leider auf kein Ergebnis gekommen...
LG 
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:20 Sa 17.05.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:03 Mi 21.05.2014 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Galoisgruppe von [mm]f(x)=(x^{2}+1)(x^{3}+3) \in \IQ[x][/mm]
>
> hab nur ne kurze Frage.
>
> Nullstellen von
> [mm]f(x)=\{i,-i\}\{-\wurzel[3]{3},-\zeta\wurzel[3]{3},-\zeta^{2}\wurzel[3]{3}\}; \zeta=exp(\bruch{2\pi*i}{3})[/mm]
ich nehme mal an, dass du dich nicht verrechnet hast.
> Zerfällungskörper von f wäre dann
> [mm]\IQ(i,\wurzel[3]{3},\zeta)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Könnte man den Zerfällungskörper nicht noch ein wenig
> reduzieren? Z.B. da ja gilt [mm]\IQ(\zeta)=\IQ(i\wurzel{3}),[/mm]
> also vllt. reduzieren auf [mm]\IQ(\wurzel[3]{3},i\wurzel{3})?[/mm]
Nicht ganz, du kommst auf [mm] $\IQ(\sqrt[3]{3}, [/mm] i, [mm] i\sqrt{3})$, [/mm] oder auch [mm] $\IQ(\sqrt[3]{3}, \sqrt{3}, [/mm] i)$.
> Habe jetzt ewig dran rumprobiert und bin leider auf kein
> Ergebnis gekommen...
Zuerst einmal: du hast eine vierte ($i$) und eine dritte [mm] ($\zeta$) [/mm] primitive Einheitswurzel. Damit bekommst du eine zwölfte primitive Einheitswurzel: wegen $1 = (-1) [mm] \cdot [/mm] 3 + 1 [mm] \cdot [/mm] 4$ ist [mm] $i^{-1} \cdot \zeta [/mm] = -i [mm] \zeta$ [/mm] eine solche. (Beweisen musst du das aber noch selber.)
Damit hast du [mm] $\IQ(\sqrt[3]{3}, \zeta_{12})$ [/mm] als Zerfällungskörper. (Hieraus kannst du übrigens sehr einfach den Körpergrad bestimmen.)
Weiterhin kannst du aus [mm] $\sqrt[3]{3}$ [/mm] und [mm] $\sqrt{3}$ [/mm] eine sechste Wurzel von $3$ konstruieren, womit du [mm] $\IQ(\sqrt[6]{3}, [/mm] i)$ bekommst.
LG Felix
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