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Hallo!
Ich habe gerade Schwierigkeiten mit dem Skript, mit dem ich für Algebra lerne:
Es wurde am Anfang des Kapitels die Körpererweiterung klassisch eingeführt und das habe ich (dachte ich) auch soweit verstanden. Nun kommen wir zu den Zerfällungskörpern, die eine bestimmte Körpererweiterung L/K sind, dass das Polynom P [mm] \in K[X]\0 [/mm] in L[X] vollständig in Linearfaktoren zerfällt und der Körper L über K erzeugt wird von den Nullstellen von P.
Daraufhin erklärt der Autor, dass Zerfällungskörper eindeutig sind bis auf einen nicht eindeutigen Isomorphismus. Auch das verstehe ich: zwischen 2 Zerfällungskörpern L und L' des Polynoms kann es ja verschiedene Isomorphismen geben, oder?
So weit so gut.
Aber jetzt führt der Autor eine geeignete Terminologie ein um diese "Wohlbestimmtheit bis auf nicht eindeutigen Isomorphismus" begrifflich zu fassen. Und da komm ich nicht mehr mit:
Def.: Sei K ein Ring. Unter einem K-Ring verstehen wir ein Paar (L,i) bestehend aus einem Ring L und einem Ringhomomorphismus i: K [mm] \to [/mm] L. Ist (M,j) ein weiterer K-Ring, so verstehen wir unter einem Homomorphismus von K-Ringen L [mm] \to [/mm] M einen Ringhomomorphismus [mm] \phi: [/mm] L [mm] \to [/mm] M mit [mm] \phi \circ i = j [/mm]. Alternativ sprechen wir auch von einem Homomorphismus über K. Die Menge aller solchen Homomorphismen notieren wir mit [mm] Ring^K(L,M). [/mm] Einen bijektiven Ringhomomorphismus über K nennen wir auch einen Isomorphismus von K-Ringen.
Def.: Ist K ein Körper, so bezeichnen wir einen K-Ring, der seinerseits ein Körper ist, auch als eine Körpererweiterung von K, bzw. eine Körpererweiterung im verallgemeinerten Sinne. Fassen wir i: K [mm] \to [/mm] L auf als die Einbettung eines Unterkörpers K [mm] \subset [/mm] L und ist j: K [mm] \to [/mm] M ein weiterer Körperhomomorphismus, so nennen wir einen Körperhomomorphismus L [mm] \to [/mm] M über K auch eine Ausdehnung von j auf L.
Diese Art Körpererweiterungen zu definieren habe ich nirgendswo sonst bisher gefunden und ich finde sie noch nicht ganz einsichtig, bzw bin mir noch unsicher, ob das stimmt, was ich mir denke. Hier schrittweise meine Probleme/Gedanken/Fragen:
Sei K ein Ring. Unter einem K-Ring verstehen wir ein Paar (L,i) bestehend aus einem Ring L und einem Ringhomomorphismus i: K [mm] \to [/mm] L.
Ist (M,j) ein weiterer K-Ring, so verstehen wir unter einem Homomorphismus von K-Ringen L [mm] \to [/mm] M einen Ringhomomorphismus [mm] \phi: [/mm] L [mm] \to [/mm] M mit [mm] \phi \circ i = j [/mm].
( <- dh.: [mm] \phi(i(x +_K y))=j(x +_K y)=j(x) +_M j(y) [/mm] und analog mit der Multiplikation?
Und das heißt doch eigentlich nur, dass wir zwei Homomorphismen haben, die von K ausgehen und einen, der die Zielmengen dieser beiden Homomorphismen verknüpft. Kann man das so (salopp) sagen? )
Alternativ sprechen wir auch von einem Homomorphismus über K.
Die Menge aller solchen Homomorphismen notieren wir mit [mm] Ring^K(L,M). [/mm]
( <- also [mm] \phi \in Ring^K(L,M) [/mm] ? )
Einen bijektiven Ringhomomorphismus über K nennen wir auch einen Isomorphismus von K-Ringen.
Ist K ein Körper, so bezeichnen wir einen K-Ring, der seinerseits ein Körper ist, auch als eine Körpererweiterung von K, bzw. eine Körpererweiterung im verallgemeinerten Sinne.
( <- dh. wir betrachten wieder einen K-Ring, nur dass das zugrundeliegende K und das L auf das abgebildet wird, sind nun sogar Körper und damit der Homomorphismus auch ein Körper- statt ein Ringhomomorphismus ? )
Fassen wir i: K [mm] \to [/mm] L auf als die Einbettung eines Unterkörpers K [mm] \subset [/mm] L und ist j: K [mm] \to [/mm] M ein weiterer Körperhomomorphismus, so nennen wir einen Körperhomomorphismus L [mm] \to [/mm] M über K auch eine Ausdehnung von j auf L.
( <- Was macht es hier für einen Unterschied, dass K in L eingebettet wird und es nicht nur ein Körperhomomorphismus ist? )
Und insgesamt verstehe ich noch nicht, warum man den K-Ring, der auch ein Körper ist, als Verallgemeinerung einer Körpererweiterung sehen kann? Kann mir das jemand erklären und hier helfen? Das wäre super!
Liebe Grüße,
Lily
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:03 Sa 06.08.2016 | | Autor: | hippias |
> Hallo!
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> Ich habe gerade Schwierigkeiten mit dem Skript, mit dem ich
> für Algebra lerne:
>
> Es wurde am Anfang des Kapitels die Körpererweiterung
> klassisch eingeführt und das habe ich (dachte ich) auch
> soweit verstanden. Nun kommen wir zu den
> Zerfällungskörpern, die eine bestimmte Körpererweiterung
> L/K sind, dass das Polynom P [mm]\in K[X]\0[/mm] in L[X]
> vollständig in Linearfaktoren zerfällt und der Körper L
> über K erzeugt wird von den Nullstellen von P.
>
> Daraufhin erklärt der Autor, dass Zerfällungskörper
> eindeutig sind bis auf einen nicht eindeutigen
> Isomorphismus. Auch das verstehe ich: zwischen 2
> Zerfällungskörpern L und L' des Polynoms kann es ja
> verschiedene Isomorphismen geben, oder?
Ja.
>
> So weit so gut.
> Aber jetzt führt der Autor eine geeignete Terminologie
> ein um diese "Wohlbestimmtheit bis auf nicht eindeutigen
> Isomorphismus" begrifflich zu fassen. Und da komm ich nicht
> mehr mit:
>
> Def.: Sei K ein Ring. Unter einem K-Ring verstehen wir ein
> Paar (L,i) bestehend aus einem Ring L und einem
> Ringhomomorphismus i: K [mm]\to[/mm] L. Ist (M,j) ein weiterer
> K-Ring, so verstehen wir unter einem Homomorphismus von
> K-Ringen L [mm]\to[/mm] M einen Ringhomomorphismus [mm]\phi:[/mm] L [mm]\to[/mm] M mit
> [mm]\phi \circ i = j [/mm]. Alternativ sprechen wir auch von einem
> Homomorphismus über K. Die Menge aller solchen
> Homomorphismen notieren wir mit [mm]Ring^K(L,M).[/mm] Einen
> bijektiven Ringhomomorphismus über K nennen wir auch einen
> Isomorphismus von K-Ringen.
>
> Def.: Ist K ein Körper, so bezeichnen wir einen K-Ring,
> der seinerseits ein Körper ist, auch als eine
> Körpererweiterung von K, bzw. eine Körpererweiterung im
> verallgemeinerten Sinne. Fassen wir i: K [mm]\to[/mm] L auf als die
> Einbettung eines Unterkörpers K [mm]\subset[/mm] L und ist j: K [mm]\to[/mm]
> M ein weiterer Körperhomomorphismus, so nennen wir einen
> Körperhomomorphismus L [mm]\to[/mm] M über K auch eine Ausdehnung
> von j auf L.
>
> Diese Art Körpererweiterungen zu definieren habe ich
> nirgendswo sonst bisher gefunden und ich finde sie noch
> nicht ganz einsichtig, bzw bin mir noch unsicher, ob das
> stimmt, was ich mir denke. Hier schrittweise meine
> Probleme/Gedanken/Fragen:
>
> Sei K ein Ring. Unter einem K-Ring verstehen wir ein Paar
> (L,i) bestehend aus einem Ring L und einem
> Ringhomomorphismus i: K [mm]\to[/mm] L.
> Ist (M,j) ein weiterer K-Ring, so verstehen wir unter einem
> Homomorphismus von K-Ringen L [mm]\to[/mm] M einen
> Ringhomomorphismus [mm]\phi:[/mm] L [mm]\to[/mm] M mit [mm]\phi \circ i = j [/mm].
>
> ( <- dh.: [mm]\phi(i(x +_K y))=j(x +_K y)=j(x) +_M j(y)[/mm] und
> analog mit der Multiplikation?
> Und das heißt doch eigentlich nur, dass wir zwei
> Homomorphismen haben, die von K ausgehen und einen, der die
> Zielmengen dieser beiden Homomorphismen verknüpft. Kann
> man das so (salopp) sagen? )
Ja; wobei diese Homomorphismen zusätzlich die Eigenschaft [mm] $\phi \circ [/mm] i = j$ haben. $i$ und $j$ machen den Ring $K$ mit den Ringen $L$ und $M$ "verträglich", während [mm] $\phi$ [/mm] die Ringe $L$ und $M$ untereinander "verträglich" macht.
>
> Alternativ sprechen wir auch von einem Homomorphismus über
> K.
> Die Menge aller solchen Homomorphismen notieren wir mit
> [mm]Ring^K(L,M).[/mm]
>
> ( <- also [mm]\phi \in Ring^K(L,M)[/mm] ? )
Ja.
>
> Einen bijektiven Ringhomomorphismus über K nennen wir auch
> einen Isomorphismus von K-Ringen.
>
>
> Ist K ein Körper, so bezeichnen wir einen K-Ring, der
> seinerseits ein Körper ist, auch als eine
> Körpererweiterung von K, bzw. eine Körpererweiterung im
> verallgemeinerten Sinne.
>
> ( <- dh. wir betrachten wieder einen K-Ring, nur dass das
> zugrundeliegende K und das L auf
ersteinmal nur "in", nicht unbedingt "auf"
> das abgebildet wird, sind
> nun sogar Körper und damit der Homomorphismus auch ein
> Körper- statt ein Ringhomomorphismus ? )
Ja.
>
> Fassen wir i: K [mm]\to[/mm] L auf als die Einbettung eines
> Unterkörpers K [mm]\subset[/mm] L und ist j: K [mm]\to[/mm] M ein weiterer
> Körperhomomorphismus, so nennen wir einen
> Körperhomomorphismus L [mm]\to[/mm] M über K auch eine Ausdehnung
> von j auf L.
>
> ( <- Was macht es hier für einen Unterschied, dass K in L
> eingebettet wird und es nicht nur ein Körperhomomorphismus
> ist? )
Bei Körpern ist jeder Homomorphismus injektiv und daher immer eine sog. Einbettung.
>
> Und insgesamt verstehe ich noch nicht, warum man den
> K-Ring, der auch ein Körper ist, als Verallgemeinerung
> einer Körpererweiterung sehen kann? Kann mir das jemand
> erklären und hier helfen? Das wäre super!
Intuitiv könnte man sagen, dass $L$ nur dann eine Körpererweiterung von $K$ ist, wenn $K$ auch wenigstens in $L$ enthalten ist. Eine Definition solcherart ist aber technisch sehr ungünstig insofern, dass sich oft leicht Körper mit irgendwelchen gewünschten Eigenschaften konstruieren lassen, die aber $K$ nicht unbedingt enthalten (z.B. bei Faktorringen von Polynomringen). Aber $K$ lässt sich in diese Konstruktionen leicht einbetten, ist also so gut wie in der Erweiterung enthalten.
Die gesamte Herangehsweise im Skript ist nicht ungewöhnlich. Es ist ganz ähnlich, wenn man von $K$-Vektorräumen spricht, wobei der Vektorraum jetzt ein Körper ist.
>
> Liebe Grüße,
> Lily
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Vielen Dank! Jetzt ist mir alles etwas klarer!
Nur um sicher zu gehen:
> >
> > Fassen wir i: K [mm]\to[/mm] L auf als die Einbettung eines
> > Unterkörpers K [mm]\subset[/mm] L und ist j: K [mm]\to[/mm] M ein weiterer
> > Körperhomomorphismus, so nennen wir einen
> > Körperhomomorphismus L [mm]\to[/mm] M über K auch eine Ausdehnung
> > von j auf L.
> >
> > ( <- Was macht es hier für einen Unterschied, dass K in L
> > eingebettet wird und es nicht nur ein Körperhomomorphismus
> > ist? )
> Bei Körpern ist jeder Homomorphismus injektiv und daher
> immer eine sog. Einbettung.
Das heißt wir nennen es bei den Körpern in diesem Fall einfach nur anders aber es macht eigentlich keinen Unterschied außer dass dieser Homomorphismus immer injektiv ist?
>
> >
> > Und insgesamt verstehe ich noch nicht, warum man den
> > K-Ring, der auch ein Körper ist, als Verallgemeinerung
> > einer Körpererweiterung sehen kann? Kann mir das jemand
> > erklären und hier helfen? Das wäre super!
> Intuitiv könnte man sagen, dass [mm]L[/mm] nur dann eine
> Körpererweiterung von [mm]K[/mm] ist, wenn [mm]K[/mm] auch wenigstens in [mm]L[/mm]
> enthalten ist. Eine Definition solcherart ist aber
> technisch sehr ungünstig insofern, dass sich oft leicht
> Körper mit irgendwelchen gewünschten Eigenschaften
> konstruieren lassen, die aber [mm]K[/mm] nicht unbedingt enthalten
> (z.B. bei Faktorringen von Polynomringen). Aber [mm]K[/mm] lässt
> sich in diese Konstruktionen leicht einbetten, ist also so
> gut wie in der Erweiterung enthalten.
Das heißt, wenn wir eine gewünschte Körpererweiterung M/K konstruieren wollen können wir den Umweg, der leichte ist, über L gehen?
Liebe Grüße,
Lily
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:57 Sa 06.08.2016 | | Autor: | hippias |
> Vielen Dank! Jetzt ist mir alles etwas klarer!
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> Nur um sicher zu gehen:
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> > >
> > > Fassen wir i: K [mm]\to[/mm] L auf als die Einbettung eines
> > > Unterkörpers K [mm]\subset[/mm] L und ist j: K [mm]\to[/mm] M ein weiterer
> > > Körperhomomorphismus, so nennen wir einen
> > > Körperhomomorphismus L [mm]\to[/mm] M über K auch eine Ausdehnung
> > > von j auf L.
> > >
> > > ( <- Was macht es hier für einen Unterschied, dass K in L
> > > eingebettet wird und es nicht nur ein Körperhomomorphismus
> > > ist? )
> > Bei Körpern ist jeder Homomorphismus injektiv und
> daher
> > immer eine sog. Einbettung.
>
> Das heißt wir nennen es bei den Körpern in diesem Fall
> einfach nur anders aber es macht eigentlich keinen
> Unterschied außer dass dieser Homomorphismus immer
> injektiv ist?
Ein Homomorphismus ist eine Einbettung, wenn er injektiv ist (bis auf eventuelle Zusatzbedingungen innerhalb einzelner Disziplinen).
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> > >
> > > Und insgesamt verstehe ich noch nicht, warum man den
> > > K-Ring, der auch ein Körper ist, als Verallgemeinerung
> > > einer Körpererweiterung sehen kann? Kann mir das jemand
> > > erklären und hier helfen? Das wäre super!
> > Intuitiv könnte man sagen, dass [mm]L[/mm] nur dann eine
> > Körpererweiterung von [mm]K[/mm] ist, wenn [mm]K[/mm] auch wenigstens in [mm]L[/mm]
> > enthalten ist. Eine Definition solcherart ist aber
> > technisch sehr ungünstig insofern, dass sich oft leicht
> > Körper mit irgendwelchen gewünschten Eigenschaften
> > konstruieren lassen, die aber [mm]K[/mm] nicht unbedingt enthalten
> > (z.B. bei Faktorringen von Polynomringen). Aber [mm]K[/mm] lässt
> > sich in diese Konstruktionen leicht einbetten, ist also so
> > gut wie in der Erweiterung enthalten.
>
> Das heißt, wenn wir eine gewünschte Körpererweiterung
> M/K konstruieren wollen können wir den Umweg, der leichte
> ist, über L gehen?
Das verstehe ich nicht. Es ging nur um die Tatsache, dass es nicht zweckmässig ist von einer Erweiterung von $K$ zu fordern, dass $K$ in dem Erweiterungskörper enthalten sein muss; obwohl dies ja durchaus eine naheliegende Bedingung ist. Dies ist es, vermute ich, um was es in dem Skript ging.
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> Liebe Grüße,
> Lily
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> > > > Und insgesamt verstehe ich noch nicht, warum man den
> > > > K-Ring, der auch ein Körper ist, als Verallgemeinerung
> > > > einer Körpererweiterung sehen kann? Kann mir das jemand
> > > > erklären und hier helfen? Das wäre super!
> > > Intuitiv könnte man sagen, dass [mm]L[/mm] nur dann eine
> > > Körpererweiterung von [mm]K[/mm] ist, wenn [mm]K[/mm] auch wenigstens in [mm]L[/mm]
> > > enthalten ist. Eine Definition solcherart ist aber
> > > technisch sehr ungünstig insofern, dass sich oft leicht
> > > Körper mit irgendwelchen gewünschten Eigenschaften
> > > konstruieren lassen, die aber [mm]K[/mm] nicht unbedingt enthalten
> > > (z.B. bei Faktorringen von Polynomringen). Aber [mm]K[/mm] lässt
> > > sich in diese Konstruktionen leicht einbetten, ist also so
> > > gut wie in der Erweiterung enthalten.
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> > Das heißt, wenn wir eine gewünschte Körpererweiterung
> > M/K konstruieren wollen können wir den Umweg, der leichte
> > ist, über L gehen?
> Das verstehe ich nicht. Es ging nur um die Tatsache, dass
> es nicht zweckmässig ist von einer Erweiterung von [mm]K[/mm] zu
> fordern, dass [mm]K[/mm] in dem Erweiterungskörper enthalten sein
> muss; obwohl dies ja durchaus eine naheliegende Bedingung
> ist. Dies ist es, vermute ich, um was es in dem Skript
> ging.
Achso! Ich dachte das wäre die Antwort darauf gewesen, warum man dies als Verallgemeinerung der Körpererweiterung, die ich vorher kennengelernt habe, sei! Das tut mir Leid!
Diese Frage steht für mich noch offen. Kann mir da jmd helfen? 
Liebe Grüße,
Lily
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:19 So 07.08.2016 | | Autor: | hippias |
Natürlich war es meine Reaktion auf die Frage zur (verallgemeinerten) Körpererweiterung. Was verstehst Du denn unter einer Körpererweiterung so wie Du sie vorher kennengelernt hast?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:29 So 07.08.2016 | | Autor: | Mathe-Lily |
Aaah, ohje, ich stand wohl echt auf einer Wasserleitung! Hab es jetzt verstanden! Vielen Dank für deine Antworten und deine Geduld mit mir!
Liebe Grüße, Lily
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Falls du weiter lesen willst: Normalerweise nennt man einen $K$-Ring auch eine $K$-Algebra (zumindest, wenn alles kommutativ ist).
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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