Zerfällungskörper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:04 Do 09.03.2006 | | Autor: | cycilia |
Wenn ich über ein Polynom der Form [mm] x^5-2 \in \IQ[X] [/mm] einen Zerfällungskörper bestimmen soll, dann bestimme ich zunächst die Nullstellen des Polynoms:
[mm] x_1 [/mm] = e^( [mm] \bruch{2 \pi i}{5})
[/mm]
[mm] x_2 [/mm] = (e^( [mm] \bruch{2 \pi i}{5}))^2
[/mm]
...
was genau muss ich dann zu [mm] \IQ [/mm] hnzuadjungieren, um den Zerfällungskörper anzugeben?
[mm] \IQ( \wurzel[5]{2}, [/mm] e^( [mm] \bruch{2 \pi i}{5})) [/mm] ?
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:12 Do 09.03.2006 | | Autor: | cycilia |
aehm, das was ich da angegeben hab, waren natürlich nicht die Nullstellen, sondern die fünften Einheitswurzeln....
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:15 Do 09.03.2006 | | Autor: | felixf |
> Wenn ich über ein Polynom der Form [mm]x^5-2 \in \IQ[X][/mm] einen
> Zerfällungskörper bestimmen soll, dann bestimme ich
> zunächst die Nullstellen des Polynoms:
>
> [mm]x_1[/mm] = e^( [mm]\bruch{2 \pi i}{5})[/mm]
> [mm]x_2[/mm] = (e^( [mm]\bruch{2 \pi i}{5}))^2[/mm]
>
> ...
Das sind jetzt aber nicht die Nullstellen von [mm] $x^5 [/mm] - 2$, sondern die von [mm] $x^5 [/mm] - 1$. Damit du die von [mm] $x^5 [/mm] - 2$ bekommst musst du die [mm] $x_i$ [/mm] noch mit [mm] $\sqrt[5]{2}$ [/mm] multiplizieren.
> was genau muss ich dann zu [mm]\IQ[/mm] hnzuadjungieren, um den
> Zerfällungskörper anzugeben?
Die Nullstellen. Also [mm] $\sqrt[5]{2}$, $\sqrt[5]{2} e^{\frac{2 \pi i}{5}}$, $\dots$, $\sqrt[5]{2} \left(e^{\frac{2 \pi i}{5}}\right)^4$.
[/mm]
Der Zerfaellungskoerper ist also $K := [mm] \IQ\left(\sqrt[5]{2}, \sqrt[5]{2} e^{\frac{2 \pi i}{5}}, \dots, \sqrt[5]{2} \left(e^{\frac{2 \pi i}{5}}\right)^4\right)$. [/mm] Jetzt kannst du aber sehen, dass du jede Nullstelle durch [mm] $\sqrt[5]{2}$ [/mm] und [mm] $e^{\frac{2 \pi i}{5}}$ [/mm] ausdruecken kannst, womit $K$ in $L := [mm] \IQ(\sqrt[5]{2}, e^{\frac{2 \pi i}{5}})$ [/mm] enthalten ist. Andersherum kannst du allerdings [mm] $\sqrt[5]{2}$ [/mm] und [mm] $e^{\frac{2 \pi i}{5}}$ [/mm] durch die Nullstellen des Polynoms ausdruecken, da [mm] $e^{\frac{2 \pi i}{5}} [/mm] = [mm] \frac{\sqrt[5]{2} e^{\frac{2 \pi i}{5}}}{\sqrt[2]{5}}$ [/mm] ist: Damit ist $L$ in $K$ enthalten. Also ist $L = K$ und somit ist $L = [mm] \IQ(\sqrt[5]{2}, e^{\frac{2 \pi i}{5}})$ [/mm] der Zerfaellungskoerper.
LG Felix
> [mm]\IQ( \wurzel[5]{2},[/mm] e^( [mm]\bruch{2 \pi i}{5}))[/mm] ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:13 Do 09.03.2006 | | Autor: | cycilia |
Japp, hatt ich schon gesehen, ich hatte vergessen, da noch mal Wurzel hinzuschreiben. Und das nächste Mal schreib ich was mehr,... *g* ich wusste nämlich, dass ich nur die hinzuadjungieren muss, die sich nicht durcheinander darstellen lassen, daher kam ich auf die hingeschriebene Vermutung. Aber noch ne Frage: Ich hab es ja nicht wirklich hinbekommen, die Einheitswurzeln mit dem Formeleditor darzustellen: weisst du was ich falsch eingegeben habe?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:25 Do 09.03.2006 | | Autor: | felixf |
> Aber noch ne Frage: Ich hab es ja nicht wirklich
> hinbekommen, die Einheitswurzeln mit dem Formeleditor
> darzustellen: weisst du was ich falsch eingegeben habe?
Im Prinzip zwei Sachen, das eine davon fatal und das andere kosmetisch:
Einmal hast du hinter dem Schluesselwort \pi kein Leerzeichen freigelassen, sondern direkt i geschrieben, was \pii ergibt. Da \pii kein gueltiges Schluesselwort ist, gibt es einen fatalen Fehler und ein Teil der Formel fehlt.
Das zweite ist eher kosmetischer Natur: Selbst wenn du [mm] $e^{\bruch{2 \pi i}{5}}$ [/mm] richtig setzt (durch [mm] e^{\bruch{2 \pi i}{5}}), [/mm] dann sieht es immer noch nicht so aus wie du wolltest. Das hat zwei Gruende. Einmal liegt es daran, dass du dem Forum nicht mitgeteilt hast, das es sich um eine Formel handelt: Dafuer musst du den Formeltext ein [mm] voranstellen und mit einem [/mm] abschliessen. Weiterhin hast du dann das Problem, dass du [mm]e^(\bruch{2 \pi i}{5})[/mm] erhaeltst: Das liegt daran, dass du anstatt den runden Klammern geschweifte benutzen musst, um dem Forum mitzuteilen was du alles als Exponent schreiben willst (er nimmt das naechste Zeichen nach ^, oder halt den Block in geschweiften Klammern wenn auf ^ ein { folgt). Richtig musst du also schreiben: [mm]e^{\bruch{2 \pi i}{5}}[/mm], was dann [mm]e^{\bruch{2 \pi i}{5}}[/mm] ergibt.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:30 Do 09.03.2006 | | Autor: | cycilia |
Ah, okay, fürs nächste Mal weiß ich's dann. Ich find Beiträge, wo die Formeln falsch argestellt sind auch sehr schwer lesbar - daher mag ich drauf achten. Ich bin davon ausgegangen, dass der Editor etwas anders programmiert ist, daher der "fatale" Eingabefehler ;)
|
|
|
|
