Zerfällungskörper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:31 Fr 14.07.2006 | | Autor: | cycilia |
| Aufgabe | | Geben Sie den Zerfällungskörper von [mm] x^4 [/mm] + [mm] x^3 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] + x + 1 über [mm] \IZ [/mm] / 5 [mm] \IZ [/mm] an |
Ich kenne Zerfällungskörperbestimmung nur so dass man die Nullstellen ausrechnet und zu dem Körper hinzuadjungiert.
Die Nullstellen sehen (nach dem Newton-Verfahren bestimmt) allerdings so aus:
[mm] x_{1} [/mm] = -0,8090169943749475 - 0,5877852522924731·i
[mm] x_{2} [/mm] = -0,8090169943749475 + 0,5877852522924731·i
[mm] x_{3} [/mm] = 0,3090169943749474 + 0,9510565162951536·i
[mm] x_{4} [/mm] = 0,3090169943749474 - 0,9510565162951536·i
das ist für eine Klausuraufgabe natürlich nicht so günstig.
Daher: Gibt es noch eine andere Möglichkeit den Zerfällungskörper zu bestimmen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:56 Fr 14.07.2006 | | Autor: | statler |
Hallo Anja!
> Geben Sie den Zerfällungskörper von [mm]x^4[/mm] + [mm]x^3[/mm] + [mm]x^2[/mm] + x + 1
> über [mm]\IZ[/mm] / 5 [mm]\IZ[/mm] an
> Ich kenne Zerfällungskörperbestimmung nur so dass man die
> Nullstellen ausrechnet und zu dem Körper hinzuadjungiert.
> Die Nullstellen sehen (nach dem Newton-Verfahren bestimmt)
> allerdings so aus:
> [mm]x_{1}[/mm] = -0,8090169943749475 - 0,5877852522924731·i
> [mm]x_{2}[/mm] = -0,8090169943749475 + 0,5877852522924731·i
> [mm]x_{3}[/mm] = 0,3090169943749474 + 0,9510565162951536·i
> [mm]x_{4}[/mm] = 0,3090169943749474 - 0,9510565162951536·i
Hier bist du über [mm] \IZ_{5} [/mm] unterwegs, da gibt es kein i. Dafür ist der Zerfällungskörper ein endlicher Körper (weil der Grundkörper es auch ist), und die überblickt man vollständig.
Fang doch mal mit der Frage an, ob das genannte Polynom überhaupt irreduzibel ist (über diesem Körper). Wenn ja, sehen wir Montag weiter.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
PS: Mit dieser Aufgabe sollst du gefoppt werden! Laß das nicht zu!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:19 Fr 14.07.2006 | | Autor: | cycilia |
das Problem hat sich erledigt, man löst die Aufgabe über das Polynom [mm] x^5 [/mm] - 1.
(vom Schritt [mm] x^5 [/mm] - 1 = (x - 1) [mm] (x^4 [/mm] + [mm] x^3 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] + x + 1) ist der Weg nicht mehr weit...)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:29 Fr 14.07.2006 | | Autor: | statler |
... und hier in [mm] \IZ_{5} [/mm] ist
[mm] x^{5} [/mm] - 1 = (x - [mm] 1)^{5}, [/mm] weil 5 = 0 ist.
Was ist also der Zrfällungskörper?
LG
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 Fr 14.07.2006 | | Autor: | cycilia |
> ... und hier in [mm]\IZ_{5}[/mm] ist
> [mm]x^{5}[/mm] - 1 = (x - [mm]1)^{5},[/mm] weil 5 = 0 ist.
>
> Was ist also der Zrfällungskörper?
Dem würde ich entnehmen, dass der Zerfällungskörper der Körper selber ist, da 1 in ihm drin liegt und fünffache Nullstelle ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:12 Fr 14.07.2006 | | Autor: | felixf |
> > ... und hier in [mm]\IZ_{5}[/mm] ist
> > [mm]x^{5}[/mm] - 1 = (x - [mm]1)^{5},[/mm] weil 5 = 0 ist.
> >
> > Was ist also der Zrfällungskörper?
>
> Dem würde ich entnehmen, dass der Zerfällungskörper der
> Körper selber ist, da 1 in ihm drin liegt und fünffache
> Nullstelle ist.
Exakt.
LG Felix
|
|
|
|
