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| Aufgabe | Bestimmen Sie den Zerfällungskörper L des jeweiligen Polynoms [mm] p_{i} \in \IQ[X] [/mm] und berechne seinen Grad
a) [mm] p_{1}(X)=(X^2+1)(X^2+4)
[/mm]
b) [mm] p_{2}(X)=(X^2+1)(X^2+3)
[/mm]
c) [mm] p_{3}(X)=(X^4+2)
[/mm]
d) [mm] p_{4}(X)=X^4+4X^2+1 [/mm] |
Hallo
in dem Zerfällungskörper zerfällt das Polynom vollständig, dass heißt, ich bestimm erstmal die Nullstellen
Zu a) [mm] x_{1}=i [/mm] ; [mm] x_{2}=-i [/mm] ; [mm] x_{3}=2i [/mm] ; [mm] x_{4}=-2i, [/mm] also lautet der Zerfällungskörper [mm] \IQ[i,-i,2i,-2i] [/mm] und das kann man ja vereinfachen zu [mm] \IQ[i], [/mm] oder?
Und der Grad von [mm] [\IQ[i]:\IQ] [/mm] ist 2.
Ich bedanke mich für jede Hilfe
Grúß
TheBozz-mismo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:29 Do 15.12.2011 | | Autor: | Lippel |
Nabend,
> Bestimmen Sie den Zerfällungskörper L des jeweiligen
> Polynoms [mm]p_{i} \in \IQ[X][/mm] und berechne seinen Grad
> a) [mm]p_{1}(X)=(X^2+1)(X^2+4)[/mm]
> b) [mm]p_{2}(X)=(X^2+1)(X^2+3)[/mm]
> c) [mm]p_{3}(X)=(X^4+2)[/mm]
> d) [mm]p_{4}(X)=X^4+4X^2+1[/mm]
> Hallo
> in dem Zerfällungskörper zerfällt das Polynom
> vollständig, dass heißt, ich bestimm erstmal die
> Nullstellen
>
> Zu a) [mm]x_{1}=i[/mm] ; [mm]x_{2}=-i[/mm] ; [mm]x_{3}=2i[/mm] ; [mm]x_{4}=-2i,[/mm] also
> lautet der Zerfällungskörper [mm]\IQ[i,-i,2i,-2i][/mm] und das
> kann man ja vereinfachen zu [mm]\IQ[i],[/mm] oder?
> Und der Grad von [mm][\IQ[i]:\IQ][/mm] ist 2.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ist alles richtig. Kamst du nicht weiter, oder wolltest du einfach mal checken ob bisher alles richtig ist? Beim zweiten Polynom gehst du nämlich einfach genauso vor.
Die Nullstellen sind [mm] $\{\pm i, \pm i\sqrt{3}\}$. [/mm] Das heißt der Zerfällungskörper ist [mm] $\IQ(i,\sqrt{3})$.
[/mm]
Den Grad bestimmst du mithilfe von [mm] $[\IQ(i,\sqrt{3}):\IQ]=[\IQ(i,\sqrt{3}):\IQ(\sqrt{3})][\IQ(\sqrt{3}):\IQ]$
[/mm]
LG Lippel
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Hallo. Vielen Dank für deine Antwort. Ich wollte mal checken, ob ich richtig an die Aufgabe herangehe.
Ich poste heute Abend meine Ideen für die anderen Teile
Gruß
TheBozz-mismo
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