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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:54 Fr 05.12.2008 | | Autor: | laucky |
| Aufgabe | Staatsexamen Bayern, H08/III/4
Sei p eine Primzahl, [mm] \alpha :=\wurzel[p]{2}\in\IR [/mm] und [mm] \zeta:=e^{2\pi i/p}\in\IC.
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass der Grad von [mm] \alpha [/mm] über [mm] \IQ [/mm] gleich p ist, und geben Sie das Minimalpolynom P von [mm] \alpha [/mm] über [mm] \IQ [/mm] an.
b) Zeigen Sie, dass [mm] L:=\IQ[\alpha,\zeta] [/mm] der Zerfällungskörper von P ist. Geben Sie den Grad von [mm] \zeta [/mm] über [mm] \IQ [/mm] an und beweisen Sie: [mm] [L:\IQ]=p(p-1)
[/mm]
c) Zeigen Sie, dass die Galoisgruppe der Erweiterung [mm] L|\IQ [/mm] isomorph ist zur Gruppe der bijektiven Abbildungen [mm] \tau_{a,b}:\IF_p\to \IF_p, \tau_{a,b}(x):=ax+b (a\in\IF_p^*, b\in\IF_p) [/mm] |
Dies scheint eine Standardaufgabe zu sein. Schade, dass ich sie nicht lösen kann:
In (a) kann ich beweisen, dass [mm] P(X):=X^p-2 [/mm] das Mipo über [mm] \IQ [/mm] ist. Daraus folgt sofort der Grad.
In (b) kann ich feststellen, dass [mm] \IQ(\alpha,\zeta) [/mm] der Zfk. von P ist. Das Mipo von [mm] \zeta [/mm] über [mm] \IQ [/mm] ist das p-te Kreisteilungspolynom [mm] X^{p-1}+\cdots+X+1. [/mm] Daraus folgt auch der Grad von [mm] \zeta [/mm] über [mm] \IQ.
[/mm]
Um [mm] [L:\IQ]=p(p-1) [/mm] zu beweisen, müsste ich jedoch zeigen, dass entweder (i) [mm] X^p-2 [/mm] irred. über [mm] \IQ(\zeta) [/mm] oder (ii) das p-te Kreisteilungspolynom irred. über [mm] \IQ(\alpha) [/mm] ist. (i) kann ich auf die Frage zurückführen, ob [mm] \wurzel[p]{2} [/mm] in [mm] \IQ(\zeta) [/mm] ist. Leider gelingt es mir nicht, dies zu widerlegen.
In der Aufgabe (c) hab' ich die Idee, die Wurzeln der beiden Polynome zu permutieren und mir dadurch die Galoisgruppe zu erzeugen. Die Isomorphie wird dann schon klappen.
Mein Problem liegt, wie geschildert, in Aufgabe (b). Vielleicht sollte ich darauf hinweisen, dass wir diese Aufgabe im zeitlichen Zusammenhang mit auflösbaren Gruppen aufbekommen haben. Einen inhaltlichen Zusammenhang konnte ich allerdings noch nicht finden.
Danke für eure Hilfe. Ich habe diese Frage nirgendwo anders gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:49 Fr 05.12.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> Staatsexamen Bayern, H08/III/4
> Sei p eine Primzahl, [mm]\alpha :=\wurzel[p]{2}\in\IR[/mm] und
> [mm]\zeta:=e^{2\pi i/p}\in\IC.[/mm]
> a) Zeigen Sie, dass der Grad
> von [mm]\alpha[/mm] über [mm]\IQ[/mm] gleich p ist, und geben Sie das
> Minimalpolynom P von [mm]\alpha[/mm] über [mm]\IQ[/mm] an.
> b) Zeigen Sie, dass [mm]L:=\IQ[\alpha,\zeta][/mm] der
> Zerfällungskörper von P ist. Geben Sie den Grad von [mm]\zeta[/mm]
> über [mm]\IQ[/mm] an und beweisen Sie: [mm][L:\IQ]=p(p-1)[/mm]
> c) Zeigen Sie, dass die Galoisgruppe der Erweiterung [mm]L|\IQ[/mm]
> isomorph ist zur Gruppe der bijektiven Abbildungen
> [mm]\tau_{a,b}:\IF_p\to \IF_p, \tau_{a,b}(x):=ax+b (a\in\IF_p^*, b\in\IF_p)[/mm]
>
> Dies scheint eine Standardaufgabe zu sein. Schade, dass ich
> sie nicht lösen kann:
> In (a) kann ich beweisen, dass [mm]P(X):=X^p-2[/mm] das Mipo über
> [mm]\IQ[/mm] ist. Daraus folgt sofort der Grad.
> In (b) kann ich feststellen, dass [mm]\IQ(\alpha,\zeta)[/mm] der
> Zfk. von P ist. Das Mipo von [mm]\zeta[/mm] über [mm]\IQ[/mm] ist das p-te
> Kreisteilungspolynom [mm]X^{p-1}+\cdots+X+1.[/mm] Daraus folgt auch
> der Grad von [mm]\zeta[/mm] über [mm]\IQ.[/mm]
> Um [mm][L:\IQ]=p(p-1)[/mm] zu beweisen, müsste ich jedoch zeigen,
> dass entweder (i) [mm]X^p-2[/mm] irred. über [mm]\IQ(\zeta)[/mm] oder (ii)
> das p-te Kreisteilungspolynom irred. über [mm]\IQ(\alpha)[/mm] ist.
> (i) kann ich auf die Frage zurückführen, ob [mm]\wurzel[p]{2}[/mm]
> in [mm]\IQ(\zeta)[/mm] ist. Leider gelingt es mir nicht, dies zu
> widerlegen.
Nun ist p eine Primzahl und p und p-1 sind teilerfremd. In [mm] L:=\IQ[\alpha,\zeta] [/mm] sind [mm] \IQ[\alpha] [/mm] und [mm] \IQ[\zeta] [/mm] enthalten. Was folgt dann aus dem Gradsatz?
Ist jetzt ein Ansatz in Sicht?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:53 Sa 06.12.2008 | | Autor: | laucky |
Okay. Wie peinlich, das war ja anscheinend wirklich recht einfach. Danke vielmals!!!
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