Zerfällungskörper über F5 < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:06 Do 12.06.2008 | | Autor: | Jenny85 |
Hallo!
Ich habe folgende Aufgabe! Ich soll die Galoisgruppe von [mm] X^{4}+2 \in \IF_{5} [/mm] bestimmen! Ich weiß dass ich dazu zunächst den Zerfällungskörper des Polynoms bestimmen muss. Ich habe die Nullstellen des Polynoms über [mm] \IC [/mm] zunächst bestimmt: [mm] X1=\bruch{1}{\wurzel[4]{2}}+\bruch{1}{\wurzel[4]{2}}i
[/mm]
[mm] X2=-\bruch{1}{\wurzel[4]{2}}+\bruch{1}{\wurzel[4]{2}}i
[/mm]
[mm] X3=\bruch{1}{\wurzel[4]{2}}- \bruch{1}{\wurzel[4]{2}}i
[/mm]
X4=- [mm] \bruch{1}{\wurzel[4]{2}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{\wurzel[4]{2}}i
[/mm]
Ich weiß jetzt jedoch nicht wie ich den minimalen Zerfällungskörper über [mm] \IF_{5} [/mm] aufstellen soll!
Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand weiter helfen könnte
Liebe Grüße
Jenny
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:29 Fr 13.06.2008 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Jennifer!
> Ich habe folgende Aufgabe! Ich soll die Galoisgruppe von
> [mm]X^{4}+2 \in \IF_{5}[/mm] bestimmen! Ich weiß dass ich dazu
> zunächst den Zerfällungskörper des Polynoms bestimmen muss.
> Ich habe die Nullstellen des Polynoms über [mm]\IC[/mm] zunächst
> bestimmt:
> [mm]X1=\bruch{1}{\wurzel[4]{2}}+\bruch{1}{\wurzel[4]{2}}i[/mm]
> [mm]X2=-\bruch{1}{\wurzel[4]{2}}+\bruch{1}{\wurzel[4]{2}}i[/mm]
> [mm]X3=\bruch{1}{\wurzel[4]{2}}- \bruch{1}{\wurzel[4]{2}}i[/mm]
>
> X4=- [mm]\bruch{1}{\wurzel[4]{2}}[/mm] - [mm]\bruch{1}{\wurzel[4]{2}}i[/mm]
> Ich weiß jetzt jedoch nicht wie ich den minimalen
> Zerfällungskörper über [mm]\IF_{5}[/mm] aufstellen soll!
Die Nullstellen des Polynoms in [mm] \IC [/mm] helfen einem dabei nicht wirklich. Der Zerfällungskörper ist jedenfalls eine endliche Erweiterung von F5 und somit selbst ein endlicher Körper. Die Struktur der endlichen Körper hat man komplett im Griff, das gehört in jede Algebra-Vorlesung und in jedes Algebra-Buch. Von daher denke ich, daß du auch davon gehört hast.
Also müssen wir nur noch klären, welchen Grad der Zerfällungskörper hat. Das Polynom hat keine Nullstelle in F5, also ist es irreduzibel oder es zerfällt in 2 quadratische Polynome.
Ich denke, du solltest jetzt erstmal untersuchen, welcher Fall eintritt.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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