Zerlegung in Äquivalenzklassen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:36 Do 16.09.2010 | | Autor: | summath |
| Aufgabe | Bestimmen Sie für die Äquivalenzrelation
R = {(1; 1); (2; 2); (3; 3); (4; 4); (5; 5); (6; 6);
(1; 2); (2; 1); (1; 3); (3; 1); (2; 3); (3; 2); (4; 5); (5; 4)}
die zugehörige Zerlegung von {1; 2; 3; 4; 5; 6} entsprechend dem Hauptsatz über Äquivalenzrelationen! |
Moin, kann mir mal jemand das vorgehen praxisnah erläutern? Der Hauptsatz der Äquivalenzrelation hilft mir hier irgendwie gar nicht weiter. :( Danke.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:39 Do 16.09.2010 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie für die Äquivalenzrelation
> R = {(1; 1); (2; 2); (3; 3); (4; 4); (5; 5); (6; 6);
> (1; 2); (2; 1); (1; 3); (3; 1); (2; 3); (3; 2); (4; 5);
> (5; 4)}
> die zugehörige Zerlegung von {1; 2; 3; 4; 5; 6}
> entsprechend dem Hauptsatz über Äquivalenzrelationen!
> Moin, kann mir mal jemand das vorgehen praxisnah
> erläutern? Der Hauptsatz der Äquivalenzrelation hilft mir
> hier irgendwie gar nicht weiter.
Das glaube ich nicht ! Dann fühlen wir Dir mal auf den Zahn:
Wie lautet dieser Hauptsatz ?
FRED
> :( Danke.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:50 Do 16.09.2010 | | Autor: | summath |
> Wie lautet dieser Hauptsatz ?
Der lautet ja wie folgt:
"Sei A eine nichtleere Menge. Dann gilt:
(1) Ist R eine Äquivalenzrelation auf A, so bilden die Äquivalenzklassen
[a]R (a ∈ A) eine Zerlegung von A.
(2) Die Mengen Ai (i ∈ I) mögen eine Zerlegung Z von A bilden. Dann ist
die Relation
RZ := {(a, b) ∈ A2 | ∃i ∈ I : {a, b} ⊆ Ai}
eine Äquivalenzrelation auf A.
Besteht die Zerlegung Z speziell aus den Äquivalenzklassen einer Äquivalenzrelation
R, so ist RZ = R."
Gibt der 1. Satz an, wie die Menge der Zerlegungen ausschaut? Wenn ich also Die Menge {(1; 1); (2; 2); (3; 3); (4; 4); (5; 5); (6; 6); (1; 2); (2; 1); (1; 3); (3; 1); (2; 3); (3; 2); (4; 5); (5; 4)} habe, dann ist [1] = {1,2,3} und z.B [4] = {4,5}?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:57 Do 16.09.2010 | | Autor: | fred97 |
> > Wie lautet dieser Hauptsatz ?
>
> Der lautet ja wie folgt:
> "Sei A eine nichtleere Menge. Dann gilt:
> (1) Ist R eine Äquivalenzrelation auf A, so bilden die
> Äquivalenzklassen
> [a]R (a ∈ A) eine Zerlegung von A.
> (2) Die Mengen Ai (i ∈ I) mögen eine Zerlegung Z von A
> bilden. Dann ist
> die Relation
> RZ := {(a, b) ∈ A2 | ∃i ∈ I : {a, b} ⊆ Ai}
> eine Äquivalenzrelation auf A.
> Besteht die Zerlegung Z speziell aus den
> Äquivalenzklassen einer Äquivalenzrelation
> R, so ist RZ = R."
>
> Gibt der 1. Satz an, wie die Menge der Zerlegungen
> ausschaut? Wenn ich also Die Menge {(1; 1); (2; 2); (3; 3);
> (4; 4); (5; 5); (6; 6); (1; 2); (2; 1); (1; 3); (3; 1); (2;
> 3); (3; 2); (4; 5); (5; 4)} habe, dann ist [1] = {1,2,3}
> und z.B [4] = {4,5}?
>
Na also, geht doch !
Wir haben:
[1] = {1,2,3} = [2]= [3]
[4] = {4,5}= [5]
und was ist [6]= ??
Wie sieht nun die gesuchte Zerlegung der Menge {1,2,3,4,5,6} aus ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:02 Do 16.09.2010 | | Autor: | summath |
> Na also, geht doch !
hehe. Wenn man keinem zum Fragen hat, dann gibt es [mm] n^k [/mm] Möglichkeiten ;). Danke für die Hilfe.
> und was ist [6]= ??
[6] = {Leeremenge}?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:07 Do 16.09.2010 | | Autor: | fred97 |
> > Na also, geht doch !
>
> hehe. Wenn man keinem zum Fragen hat, dann gibt es [mm]n^k[/mm]
> Möglichkeiten ;)
Was soll das denn ?
> Danke für die Hilfe.
Bitte
>
> > und was ist [6]= ??
> [6] = {Leeremenge}?
Quatsch ! Es ist doch (6,6) [mm] \in [/mm] R. Gibt es ein weiteres x mit (6,x) [mm] \in [/mm] R ?
Nochmal: Wie sieht nun die gesuchte Zerlegung der Menge {1,2,3,4,5,6} aus ?
FRED
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:26 Do 16.09.2010 | | Autor: | summath |
> Nochmal: Wie sieht nun die gesuchte Zerlegung der Menge
> {1,2,3,4,5,6} aus ?
ähm... {{[1],[4]},{[2],[4]},...,{[3],[5]}}? wobei ich mich frage, was dann mit der 6 geschieht...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:38 Do 16.09.2010 | | Autor: | fred97 |
> > Nochmal: Wie sieht nun die gesuchte Zerlegung der Menge
> > {1,2,3,4,5,6} aus ?
>
> ähm... {{[1],[4]},{[2],[4]},...,{[3],[5]}}?
....................sehr merkwürdig ............................ ?
Ich zitiere: "Ist R eine Äquivalenzrelation auf A, so bilden die Äquivalenzklassen
[a] (a ∈ A) eine Zerlegung von A"
D.h.: (*) $A = [mm] \bigcup_{a \in A}^{}[a]$
[/mm]
Die Darstellung sollst Du finden.
> wobei ich mich
> frage, was dann mit der 6 geschieht...
Wir haben:
[1] = {1,2,3} = [2]= [3]
[4] = {4,5}= [5]
[6]= {6}
Damit ist die Menge A= {1,2,3,4,5,6} zerlegt in die Äquivalenzklassen
[1], [4] und [6],
d.h.:
$A = [mm] \{1,2,3,4,5,6\} [/mm] = [mm] [1]\cup[4] \cup[6]$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:45 Do 16.09.2010 | | Autor: | summath |
> Wir haben:
>
> [1] = {1,2,3} = [2]= [3]
>
> [4] = {4,5}= [5]
>
> [6]= {6}
Ach misst. Zu unkonzentriert. Klar ist [6] = {6}. Habe das Tupel {6,6} vollkommen nicht gesehen.
> Damit ist die Menge A= {1,2,3,4,5,6} zerlegt in die
> Äquivalenzklassen
>
> [1], [4] und [6],
bzw. in [2],[4] und [6] etc. Richtig!?
> [mm]A = \{1,2,3,4,5,6\} = [1]\cup[4] \cup[6][/mm]
Ok ;)
Danke nochmals *beschämt*
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:55 Do 16.09.2010 | | Autor: | fred97 |
> > Wir haben:
> >
> > [1] = {1,2,3} = [2]= [3]
> >
> > [4] = {4,5}= [5]
> >
> > [6]= {6}
>
> Ach misst. Zu unkonzentriert. Klar ist [6] = {6}. Habe das
> Tupel {6,6} vollkommen nicht gesehen.
Oben habe ich geschrieben:
"Es ist doch (6,6) $ [mm] \in [/mm] $ R. Gibt es ein weiteres x mit (6,x) $ [mm] \in [/mm] $ R ?"
>
> > Damit ist die Menge A= {1,2,3,4,5,6} zerlegt in die
> > Äquivalenzklassen
> >
> > [1], [4] und [6],
>
> bzw. in [2],[4] und [6] etc. Richtig!?
Ja, weil [1]=[2]
FRED
> > [mm]A = \{1,2,3,4,5,6\} = [1]\cup[4] \cup[6][/mm]
> Ok ;)
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> Danke nochmals *beschämt*
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