Zerlegung nach Epstein < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:56 Mi 17.08.2011 | | Autor: | Yakut |
| Aufgabe | Wie funktioniert der Zerlegungsbeweis nach Epstein?
Von welchem Ansatz ist hier auszugehen? |
Hallo,
Die Beantwortung der Frage ist mir super wichtig.
Also es geht um den Zerlegungsbeweis nach Epstein (Beweis fü den Satz des Pythagoras). Leider konnte ich die Abbildung hier nicht einfügen. Sie ist unter folgendem Link zu finden: http://books.google.de/books?id=S-GwcXFvIe0C&pg=PA11&dq=Zerlegungsbeweis+nach+Epstein&hl=de&ei=O3tLTsXQCYnoOenW7cUI&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1&ved=0CCsQ6AEwAA#v=onepage&q=Zerlegungsbeweis%20nach%20Epstein&f=false. Das ist ein Buch, S. 12.
Mein Problem ist hier, dass ich nicht weiß, wie ich diesen Beweis zeigen soll. Ich habe überhaupt keine Ideen. Mein Dozent hat mir nur ein Tipp gegeben, dass ich den Beweis über Winkel und Ähnlichkeit machen soll. Ich habe kein Plan.
Ich würde mich über eine Antwort freuen.
Liebe Grüße, Yakut
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Yakut,
die Grafik zeigt doch alles, was man braucht. Der Rest ist weitestgehend Mittelstufengeometrie. Du musst halt bestimmen, welche Winkel und welche Strecken gleich sind. Das sieht hier doch nicht so schwierig aus. Es ist nur Arbeit.
Du wirst im Hauptstudium doch nicht die ganze Schulmathematik vergessen haben. Die brauchst Du hier, mehr nicht.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:09 Mi 17.08.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo Hilal,
da habe ich vorhin eins verpennt: ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Du bist ja jetzt auf einem guten Weg mit der Aufgabe - von wegen "kein Plan". Wie gesagt, es ist nur recht arbeitsam, weil man die Äquivalenz für a,b,m,n,A,B,M,N zeigen muss. Dass dazu eben Winkel und Längen gezeigt werden müssen und die beiden verwendeten Geraden (wovon die eine, g, glücklicherweise ganz einfach ist) auch noch, macht die Aufgabe etwas mühevoll.
Warum man das für Mathe an der Grundschule können muss, leuchtet mir zwar nicht ein, aber das war hier schon öfter so. 
Viel Erfolg!
reverend
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:22 Mi 17.08.2011 | | Autor: | Yakut |
Hallo,
es ist ganz toll, dass du es ganz einfach findest :) Aber mir fehlen leider Ideen, wie ich zeigen soll, dass die Geraden genau durch diese Punkte verlaufen.
Und ist der Beweis den auch abgeschlossen, wenn ich die Äquivalenz und die Geraden g un h gezeigt habe?
Lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:21 Fr 19.08.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> Wie funktioniert der Zerlegungsbeweis nach Epstein?
> (Beweis für den Satz des Pythagoras).
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> Mein Problem ist hier, dass ich nicht weiß, wie ich diesen
> Beweis zeigen soll. Ich habe überhaupt keine Ideen. Mein
> Dozent hat mir nur ein(en) Tipp gegeben, dass ich den Beweis
> über Winkel und Ähnlichkeit machen soll. Ich habe kein(en)
> Plan.
Hallo Yakut,
ich habe die Zeichnung in Geogebra erstellt. Mit den dabei
eingeführten Punktbezeichnungen könnte sie dir vielleicht
helfen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Beachte beispielsweise, dass die Dreiecke
[mm] \Delta [/mm] BCQ , [mm] \Delta [/mm] BHJ , [mm] \Delta [/mm] IHJ , [mm] \Delta [/mm] BMO , [mm] \Delta [/mm] FLP
zueinander kongruent sind. Mach dir klar, wie du
dies zeigen kannst. Dann stelle analoge Überlegungen
für alle weiteren Teildreiecke an.
LG Al-Chw.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 Mi 17.08.2011 | | Autor: | Yakut |
Hallo,
Vielen Dank für die schnelle Antwort!
Ich habe jetzte Folgendes für den Beweis von Epstein stehen, aber bin mir nicht sicher, ob ich auf dem richtigen Weg bin?
Der in Abbildung YX dargestellte Zerlegungsbeweis aus dem Jahre 1906 „nützt aus, dass die Ecke C in den Kathetenquadraten gegenüber liegenden Ecken mit C auf einer Geraden g liegen, und dass die Lote h und g durch C durch de Mittelpunkt des Hypotenusenquadrats verläuft, dieses also halbiert.“ ({Fraedrich 1994 #8: 27})
Außerdem ist auffällig, dass dieser Beweis Dreiecke vorzieht.
Besonders ist auf die Symmetrie der Zerlegung ein Augenmerk zu legen: Die Kathetenquadrate sind so zerlegt, dass sie achsensymmetrisch bezüglich der Geraden g sind. Daraus lässt sich schließen, dass die Teildreiecke JHI und BHJ, CBJ und CJI, ACK und KCD sowie AKE und EKD kongruent zueinander. Das Hypotenusenquadrat wird so zerlegt, dass es ist punktsymmetrisch bezüglich des Quadratmittelpunkts Z ist. Folglich sind die Teildreiecke MBQ und FNL, MOB und FLP, GOM und PLA sowie NGM und ALQ kongruent zueinander sind.
• Wenn das Teildreieck BHJ um den Punkt B mit dem Drehwinkel 90° gedreht wird, wird es mit dem Teildreieck QBC zur Deckung gebracht. Wird BHJ um den Punkt B mit dem Drehwinkel 180° gedreht, landet es auf MOB. Wenn nun das Teildreieck MOB um das Hypotenusenmittelpunkt Z mit dem Drehwinkel 180° gedreht wird, wird es mit dem Teildreieck FLP zur Deckung gebracht. Dem ist zu entnehmen, dass die Teildreiecke BHJ, FLP, QBC und MOB kongruent zueinander sind.
• Wenn das Teildreieck CBJ um den Punkt B mit dem Drehwinkel 90° gedreht wird, wird es mit dem Teildreieck MBQ zur Deckung gebracht. Wird das Teildreieck MBQ nun um Z um 180° gedreht, kommt es mit dem Teildreieck FNL zur Deckung. Das heißt, dass die Dreiecke CBJ, MBQ und FNL kongruent zueinander sind.
• Wenn das Teildreieck AKE um A mit dem Drehwinkel 180° gedreht wird, wird es mit dem Teildreieck PLA zur Deckung gebracht. Wird das Dreieck PLA um den Punkt A um 90° gedreht, landet es auf dem Teildreieck AQC. Nun dreht man das Dreieck PLA um den Punkt Z mit dem Drehwinkel 180°, sodass PLA und GOM zur Deckung kommen. Insgesamt lässt sich daraus schließen, dass AKE, PLA, AQC und GOM kongruent zueinander sind.
• Wenn das Teildreieck ACK um 90° gedreht wird landet auf das Teildreieck ALQ. Folglich sind die beiden Teildreiecke ACK und ALQ kongruent zueinander. Wird das Dreieck ALQ um den Punkt Z um den Winkel 180° gedreht kommt es mit dem Dreieck NGM zur Deckung. Daher gilt: Die Dreiecke ACK, ALQ und NGM kongruent zueinander sind.
LG, Hilal
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Hallo Yakut,
ich denke schon, dass du grundsätzlich auf dem richtigen
Weg bist.
Dass aber z.B. die Punkte E,C,H wirklich auf einer Geraden
liegen und dass die dazu normale Gerade durch C durch den
Mittelpunkt des Hypotenusenquadrats verlaufen muss, sollte
noch begründet werden.
Zu deinem Abschnitt
"Wenn das Teildreieck BHJ um den Punkt B mit dem Drehwinkel 90° gedreht wird, wird es mit dem Teildreieck QBC zur Deckung gebracht. Wird BHJ um den Punkt B mit dem Drehwinkel 180° gedreht, landet es auf MOB. Wenn nun das Teildreieck MOB um das Hypotenusenmittelpunkt Z mit dem Drehwinkel 180° gedreht wird, wird es mit dem Teildreieck FLP zur Deckung gebracht. Dem ist zu entnehmen, dass die Teildreiecke BHJ, FLP, QBC und MOB kongruent zueinander sind."
einige Bemerkungen:
Z ist nicht der Hypotenusenmittelpunkt, sondern der Mittel-
punkt des Quadrates AFGB.
Es wäre sehr sinnvoll (und nach meiner Ansicht erforderlich),
alle beteiligten kongruenten Dreiecke mit der korrekten
(der Kongruenz entsprechenden) Reihenfolge der Eckpunkte
zu bezeichnen. Dann sind dies die Dreiecke
BHJ, BCQ , BMO , FLP . Ferner ist das Dreieck IHJ zu diesen
Dreiecken kongruent (durch Spiegelung des Dreiecks BHJ
an der Geraden EH zu erkennen).
Ferner: Um aus dem Dreieck ACK das Teildreieck ALQ zu
erhalten (Bezeichnungsweise diesmal korrekt), muss man es
nicht um 90° , sondern um -90° drehen.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 Mi 17.08.2011 | | Autor: | Yakut |
Vielen Dank für deine Antwort,
aber wie kann ich begrüneden, dass E, C und H etc. auf einer Geraden liegen. Für welche Punkte muss ich das noch machen?
Wieso muss ich das begründen?
Übrigens, ich bin keine "richtige" Mathematikstudentin. Ich studiere nur Mathematik auf Grundschullehramt.
Deswegen so viele Fragen :)
Hoffe, dass ich diesen Beweis irgendwie hinbekomme.
LG, Hilal
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Hallo Hilal,
> wie kann ich begründen, dass E, C und H etc. auf
> einer Geraden liegen.
Für E,C,H ist dies leichter als ich zuerst dachte.
ACDE und CBHI sind ja Quadrate. Wenn man noch
die Winkel bei C betrachtet, wird klar, dass die
Diagonalen EC und CH ohne Knick ineinander
übergehen müssen.
> Für welche Punkte muss ich das noch
> machen?
Definiere z.B. die Punkte L und M als Ergebnisse
aus den Drehungen, welche das Dreieck ABC in
das Dreieck AFL bzw. CBM überführen. Dann kann
man leicht zeigen, dass die Gerade LM das Hypote-
nusenquadrat AFGB halbieren und durch dessen
Mittelpunkt Z gehen muss. Versuche dann noch zu
zeigen, dass diese Gerade auch durch C gehen
und zu EH senkrecht stehen muss. Es gibt aber
bestimmt auch andere mögliche Vorgehensweisen.
> Wieso muss ich das begründen?
Nun, damit die Argumentationen mit den Drehungen,
welche Dreiecke in kongruente Dreiecke überführen,
wirklich Hand und Fuß bekommen ! Grundsätzlich
gilt einfach, dass man an einer derartigen geometri-
schen Figur nichts einfach als "selbstverständlich"
akzeptieren soll, solange man es nur ahnt oder
vermeintlich "gesehen" hat. Man soll sich klar
machen, welche geometrische Notwendigkeit
jeweils dahinter steckt, wenn z.B. zwei Geraden
parallel oder zwei Strecken gleich lang sein müssen.
> Übrigens, ich bin keine "richtige" Mathematikstudentin.
> Ich studiere nur Mathematik auf Grundschullehramt.
Auch und gerade an Grundschulen ist es wichtig, dass
Mathematik kompetent vermittelt wird.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:27 Do 18.08.2011 | | Autor: | Yakut |
Hallo Al-Chwarizmi,
deine Vorschläge fand ich sehr hilfreich. Vielen Dank!
Ich habe jetzt deine letzten Vorschläge noch eingearbeitet. Es wäre echt super, wenn du nochmal einen Blick drüber werfen könntest.
Ich bin vor allem beim Anfangsteil nicht so sicher:
Um zu Äquivalenz der jeweiligen Teildreiecke zu zeigen muss zunächst dargelegt werden,
a) dass die Punkte E, C und H auf einer Geraden liegen und
b) die dazu normale Gerade durch C durch den Mittelpunkt des Hypotenusenquadrats verläuft.
Um a) zu zeigen, betrachten wir uns beiden Kathetenquadrate ACDE und CBHI. Das Quadrat ACDE besitzt die Diagonale und das Quadrat CBHI die Diagonale .
Bei dem Dreieck ABC handelt es sich um ein rechtwinkeliges Dreieck handelt, denn hat einen rechten Winkel ACB = 90°. Dieser Winkel ergänzt sich mit dem Winkel KCA und dem Winkel BCJ zu 180°. (Muss ich hier auch die Ähnlichkeit zwischen den beiden Dreiecken BJC und ACK erklären und sagen, dass die bei C den gleichen Winkel besitzen?). Folglich gilt, dass die Diagonalen und ohne Knick ineinander übergehen und damit die Punkte E, C und H auf einer Geraden liegen.
Zu b): Durch die Drehung des Dreiecks ABC um den Punkt A mit dem Drehwinkel -90° erhält man das Dreieck AFL, welches durch die Drehung um den Mittelpunkt des Quadrates AFGB mit dem Drehwinkel 180° in das Dreieck GBM überführt wird. Diesem Vorgang ist zu entnehmen, dass L und M auf einer Geraden liegen müssen. Da es sich um eine 180° Drehung handelt muss diese durch L und M verlaufende Gerade auch den Quadratmittelpunkt Z gehen. Da die Gerade durch diesen Mittelpunkt verläuft, halbiert es die Hypotenusenquadrat in zwei deckungsgleiche Hälften AFNQ und NGBQ.
Da das Dreieck AFL einen rechten Winkel ALF = 90° bei L und das Dreieck GBM einen rechten Winkel GMB bei M besitzt, muss die Gerade, die durch L und M verläuft auch durch den Punkt C verlaufen und Orthogonale zur Gerade EH sein, weil auch das Dreieck ABC einen rechten Winkel ACB = 90° bei C besitzt.
Nun soll die Äquivalenz der Teildreiecke gezeigt werden:
• Durch die Spiegelung an der Geraden EH wird das Dreieck BHJ deckungsgleich in das Dreieck IHJ überführt, sodass diese beiden Dreiecke kongruent zueinander sind. Wenn das Dreieck BHJ um den Punkt B mit dem Drehwinkel 90° gedreht wird, wird es mit dem Dreieck BCQ zur Deckung gebracht. Wird BHJ um den Punkt B mit dem Drehwinkel 180° gedreht, landet es auf BMO. Wenn nun das Dreieck BMO um das Mittelpunkt Z des Quadrates AFGB mit dem Drehwinkel 180° gedreht wird, wird es mit dem Dreieck FLP zur Deckung gebracht. Dem ist zu entnehmen, dass die Dreiecke BHJ, IHJ, BMO, BCQ und FLP kongruent zueinander sind.
• Spiegelt man das Dreieck BJC an der Geraden EH wird es mit dem Dreieck IJC zur Deckung gebracht, so dass es gilt, dass diese beiden Dreiecke kongruent zueinander sind. Wenn das Dreieck BJC um den Punkt B mit dem Drehwinkel 90° gedreht wird, wird es mit dem Dreieck BQM zur Deckung gebracht. Wird das Dreieck BQM nun um Z um 180° gedreht, kommt es mit dem Dreieck FNL zur Deckung. Das heißt, dass die Dreiecke BJC, ICJ, BQM und FNL kongruent zueinander sind.
• Mit Hilfe der Spiegelung an der Geraden EH wird das Dreieck AKE deckungsgleich auf das Dreieck DKE abgebildet, demnach sind diese beiden Dreiecke kongruent zueinander. Wenn das Dreieck AKE um A mit dem Drehwinkel 180° gedreht wird, wird es mit dem Dreieck APL zur Deckung gebracht. Wird das Dreieck APL um den Punkt A um 90° gedreht, landet es auf dem Dreieck AQC. Nun dreht man das Dreieck PLA um den Punkt Z mit dem Drehwinkel 180°, sodass PLA und GOM zur Deckung kommen. Insgesamt lässt sich daraus schließen, dass die Dreiecke AKE, DKE, APL, AQC und GOM kongruent zueinander sind.
• Wird das Dreieck ACK an der Geraden EH gespiegelt, erhält man das Dreieck DCK, damit gilt die Deckungsgleichheit zwischen diesen beiden Dreiecken. Wenn das Dreieck ACK um -90° gedreht wird, landet es auf das Dreieck ALQ. Folglich sind die beiden Dreiecke ACK und ALQ kongruent zueinander. Wird das Dreieck ALQ um den Punkt Z um den Winkel 180° gedreht kommt es mit dem Dreieck NGM zur Deckung. Daher gilt: Die Dreiecke ACK, DCK, ALQ und GMN kongruent zueinander sind.
LG, Hilal
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Hallo Hilal,
du hast das Ganze jetzt jedenfalls sehr ausführlich
dargestellt - da wird möglicherweise jemand überrascht
sein ...
Ich habe jetzt nicht alles im Detail durchchgesehen.
Was noch fehlt (aber das ist dir wohl auch klar), ist die
Gegenüberstellung der Inhalte der Flächenstücke, in
welche das Hypotenusenquadrat bzw. die beiden Ka-
thetenquadrate zerlegt wurden.
Beim nochmaligen Anschauen der gesamten Figur
habe ich jetzt noch eine etwas "übergreifendere"
Betrachtungsmöglichkeit entdeckt: Die beiden schon
genannten Drehungen (Zentrum A, Winkel -90°) und
(Zentrum B, Winkel +90°) kann man nicht nur auf
das Originaldreieck ABC, sondern auf die gesamte
trapezförmige Figur ABJK samt den darin befindlichem
Dreiecken AQC und BCQ anwenden. Diese gesamte
Figur wird durch diese Drehungen auf die beiden Hälften
AFNQ bzw. GBQN (samt komplettem "Inhalt") abge-
bildet. Dabei wird auch sofort klar, dass die Geraden
KJ und QN zueinander senkrecht sein müssen.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:05 Do 18.08.2011 | | Autor: | Yakut |
Hallo Al-Chwarizmi,
ich finde die Idee mit der trapetzförmigen Figur ganz gut. :)
Eine letzte Frage noch, was meinst du mit Gegenüberstellung der Fächenstücke?
LG, Hilal
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> Hallo Al-Chwarizmi,
>
> ich finde die Idee mit der trapezförmigen Figur ganz gut. :)
>
> Eine letzte Frage noch, was meinst du mit
> Gegenüberstellung der Fächenstücke?
Nun, gefragt war ja schließlich ein Beweis für den Satz
von Pythagoras, der mit Flächeninhalten zu tun hat !
> LG, Hilal
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