Ziege und Sichel < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:56 Sa 01.08.2015 | | Autor: | magics |
| Aufgabe | Eine Ziege steht angepflockt auf einer saftigen Wiese und frisst einen Kreis. Nun kommt der Bauer und pflockt die Ziege um, sodass der Pflock nun genau auf dem Radius des vorher gefressenen Kreises steht.
Wie lang muss die Schnur sein, damit die Ziege genau die hälfte der Fläche des bereits abgegrasten Kreises abgrasen kann.
Anders formuliert:
Wie groß muss der Radius des neuen Kreises (dessen Mittelpunkt auf dem Radius des ersten Kreises liegt) sein, damit die Schnittfläche der beiden Kreise genau die Hälfte des ersten Kreises ist. |
Hallo!
Zu berechnen ist die Sichel aus dem ersten Kreis, deren Fläche exakt die Hälfte dessen ist.
Ich habe zuerst nach eine geometrischen Lösung gesucht, bin aber nicht so richtig weiter gekommen. Nun habe ich versucht mit dem Integral dran zu gehen. Dazu habe ich einen Ansatz erarbeitet:
Stellen wir uns anstatt zwei volle Kreise, zwei Halbkreise vor, die die gleichen Bedingungen wie in der Aufgabenstellung erfüllen sollen und deren gerade Seiten auf der x-Achse liegen. Dann können wir diese in einem Korrdinatensystem festhalten.
[mm] K_1, [/mm] der erste Halbkreis, den die Ziege zuerst frisst, bevor sie umgepflockt wird, habe ich als Einheitskreis notiert und hat die Gleichung:
[mm] K_1 [/mm] := [mm] f_1(x) [/mm] = [mm] \wurzel[]{ 1 - x^2 }, [/mm] für -1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1
[mm] K_2, [/mm] der zweite Halbkreis, dessen Radius unbekannt ist und dessen Mittelpunkt auf dem Umfang von [mm] K_1 [/mm] liegt hat die Gleichung:
[mm] K_2 [/mm] := [mm] f_2(x) [/mm] = [mm] \wurzel[]{ a^2 - (x-1)^2}, [/mm] -a [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] a
Die beiden Halbkreise haben einen gemeinsamen Schnittpunkt. Der Schnittpunkt teilt die gemeinsame Schnittfläche an der Abszisse in zwei Teile. Um die Schnittfläche zu errechnen muss man über der linken Hälfte der Schnittfläche über [mm] K_2 [/mm] integrieren und addiert das zum Integral der rechten Schnittfläche über [mm] K_1. [/mm] Diese (gemeinsame) Schnittfläche (der beiden Kreise) muss genau der Hälfte des Integrals über dem Halbkreis [mm] K_1 [/mm] sein.
Für die Formel benötigen wir aber noch den unbekannten Schnittpunkt der beiden Kreise. Schnittpunkt [mm] f_1 [/mm] und [mm] f_2:
[/mm]
[mm] f_1(x) [/mm] = [mm] f_2(x)
[/mm]
[mm] \wurzel[]{1 - x^2} [/mm] = [mm] \wurzel[]{a^2 - (x-1)^2}
[/mm]
1 - [mm] x^2 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] - [mm] (x-1)^2
[/mm]
[mm] 1-x^2 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] - [mm] x^2 [/mm] + 2x - 1
2 = [mm] a^2 [/mm] + 2x
x = 1 - [mm] \bruch{a^2}{2}
[/mm]
So ergibt sich die Formel:
[mm] \bruch{1}{2} \integral_{-1}^{1}{f_1(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{1 - \bruch{a^2}{2}}^{1}{f_1(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{1 - a}^{1 - \bruch{a^2}{2}}{f_2(x) dx}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}( F_1(1) [/mm] - [mm] F_1(-1)) [/mm] = [mm] F_1(1) [/mm] - [mm] F_1(1 [/mm] - [mm] \bruch{a^2}{2}) [/mm] + [mm] F_2(1 [/mm] - [mm] \bruch{a^2}{2}) [/mm] - [mm] F_2(1-a) [/mm]
Das muss man jetzt nach a auflösen. Bevor ich mich daran versuche möchte ich gerne wissen, ob der Ansatz an sich richtig ist.
liege Grüße,
magics
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> Eine Ziege steht angepflockt auf einer saftigen Wiese und
> frisst einen Kreis. Nun kommt der Bauer und pflockt die
> Ziege um, sodass der Pflock nun genau auf dem Radius des
> vorher gefressenen Kreises steht.
Du meinst: auf dem [mm] \red{RAND}. [/mm] Der Radius geht vom Mittelpunkt zum Rand, da könnte der Pflock überall im abgefressenen Kreis stehen, er stünde immer auf einem Radius.
>
> Wie lang muss die Schnur sein, damit die Ziege genau die
> hälfte der Fläche des bereits abgegrasten Kreises
> abgrasen kann.
>
> Anders formuliert:
> Wie groß muss der Radius des neuen Kreises (dessen
> Mittelpunkt auf dem Radius des ersten Kreises liegt) sein,
> damit die Schnittfläche der beiden Kreise genau die
> Hälfte des ersten Kreises ist.
> Hallo!
>
Das ist nicht das selbe!!!
[Dateianhang nicht öffentlich]
Betrachte das obige Bild, das allerdings rechts einen zu großen Radius hat, aber klarer den Fehler zeigt. Den linken Kreis hat die Ziege leergefressen. Sie wurde rechts neu angepflockt Die gemeinsame grüne Schnittfläche macht etwa 80 % des Gefressenen aus. Jetzt kann die Ziege aber die rote Fläche leerfressen, und das ist bestimmt das Doppelte des bisher Gefressenen, also nicht 80 %.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:07 Sa 01.08.2015 | | Autor: | magics |
Hallo,
ja du hast Recht... ich habe mich unklar ausgedrückt.
Die grüne Fläche soll die Hälfte der ursprünglichen kleinen Kreisfläche sein, das ist die eigentliche Aufgabe.
Ist vor diesem Hintergrund meine Überlegung richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:36 Sa 01.08.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich w[rde das Ganze mit dem Radius 1 für den kleinen Kreis und dem Winkel [mm] \alpha [/mm] elementargeometrisch rechnen: sihe mein Bild, fall das mit hochladen wieder geht.
Kreissektor von R +2Kreissektoren von r minus 2 Dreiecke= [mm] sin\alpha*cos\alpha
[/mm]
das dann [mm] =\pi/2
[/mm]
allerdings hat man dann ne Gleichung mit [mm] \alpha [/mm] und sin oder cos [mm] \alpha. [/mm] aber dein Integrale nach a auflösen scheint auch nicht einfacher.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß leduart
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Mit diesem Tipp von leduard solltest du auf die Gleichung
[mm] 4*\alpha*cos^2\alpha [/mm] - [mm] 2*sin\alpha*cos\alpha [/mm] - [mm] 2*\alpha [/mm] + [mm] \pi/2 [/mm] =0 [mm] \alpha [/mm] im Bogenmaß!
stoßen, die du mit dem Newtonschen Näherungsverfahren lösen kannst. Zur Kontrolle:
[mm] \alpha [/mm] = 0,9528478646, entspricht 54,59416115 °
und R = [mm] 2*cos\alpha [/mm] = 1,158728473
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:36 So 02.08.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo @HJK
warum sollte er das nicht selbst können, alle angaben waren ja schon auf dem Präsentierbrett?
gruss ledum
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:41 So 02.08.2015 | | Autor: | rmix22 |
Deine falsch formulierte Aufgabenstellung ist ja nun einigermaßen korrigiert und da, wenn ich das richtig sehe, noch niemand auf deine eigentliche Frage eingegangen ist: Ja, dein Ansatz ist korrekt und müsste auch zum Ziel führen (und ebenso auf eine Gleichung, welche nur näherungsweise zu lösen ist).
Allerdings scheint es mir ein wenig wie mit Kanonen auf Spatzen zu schießen, wenn man für diese Aufgabe die Integralrechnung auspackt. Sieht man besonders schön am linken Integral, welches ja letztlich nur die Fläche des Halbkreises mit Radius 1 berechnet und da kommt hoffentlich doch [mm] $\frac{\pi}{2}$ [/mm] raus.
Überhaupt ist das ja ein Klassiker unter den Denksportaufgaben und wenn du Lösungen zum Vergleichen mit der Deinen suchst, wirst du im Übermaß fündig, wenn du die Suchmaschine deines Vertrauens mit den Suchbegriffen "Ziege Kreis" oder auch "Wiese Ziegenproblem" fütterst. ("Ziegenproblem" allein wäre nicht so günstig, denn da gibt es noch eine bekanntere Aufgabe aus dem Bereich der Wahrscheinlichkeitsrechnung.)
Etwa:
![[]](/images/popup.gif) Jutta Gut, Newton-Verfahren
Karl-Heinz Loebel - Was Sie schon immer 'mal ausrechnen wollten ...
oder eben doch mit Integralrechnung ähnlich deinem Ansatz
BigBandi - Das Ziegenproblem
Gruß RMix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:17 Mo 03.08.2015 | | Autor: | magics |
Wow!!! Danke!!! Keine Ahnung warum ich nicht fündig geworden bin... kam nie auf die Idee "Ziege" einzugeben :D
Super!!!
lg
magics
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