Ziegenproblem V3.0 < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Auf vielfachen Wunsch möchte ich an dieser Stelle auf das bekannte Ziegenproblem, auch bekannt als Monty-Hall-Problem, eingehen und ein paar Fragen dazu stellen.
Die Fragestellung:
Variante 1 (Craig F. Whitaker):„Nehmen Sie an, Sie wären in einer Spielshow und hätten die Wahl zwischen drei Toren. Hinter einem der Tore ist ein Auto, hinter den anderen sind Ziegen. Sie wählen ein Tor, sagen wir, Tor Nummer 1, und der Showmaster, der weiß, was hinter den Toren ist, öffnet ein anderes Tor, sagen wir, Nummer 3, hinter dem eine Ziege steht. Er fragt Sie nun: ‚Möchten Sie das Tor Nummer Zwei?‘ Ist es von Vorteil, das Tor Nummer 2 zu wählen?"
Auf diese Frage antwortete Marilyn vos Savant (MvS):"Ja, Sie sollten wechseln. Das zuerst gewählte Tor hat die Gewinnchance von 1/3, aber das zweite Tor hat eine Gewinnchance von 2/3." Was in der Antwort zunächst fehlt ist die Angabe bestimmter Spielregeln, die eingehalten werden müssen, um zu ihrer Lösung zu kommen. MvS hat nachweislich die Beschreibung dieser Spielsituation so interpretiert, dass die Show nach immer den gleichen Regeln ablaufen muss.
Variante 2 (Gero von Randow (GvR)):"Sie nehmen an einer Spielshow im Fernsehen teil, bei der Sie eine von drei verschlossenen Türen auswählen sollen. Hinter einer Tür wartet der Preis, ein Auto, hinter den beiden anderen stehen Ziegen. Sie zeigen auf eine Tür, sagen wir, Nummer eins. Sie bleibt vorerst geschlossen. Der Moderator weiß, hinter welcher Tür sich das Auto befindet; mit den Worten ›Ich zeige Ihnen mal was‹ öffnet er eine andere Tür, zum Beispiel Nummer drei, und eine meckernde Ziege schaut ins Publikum. Er fragt: ›Bleiben Sie bei Nummer eins, oder wählen Sie Nummer zwei?"
GvR gibt dieselbe Lösung wie MvS an, obwohl seine Fragestellung einen wesentlichen Unterschied beinhaltet:"...mit den Worten ›Ich zeige Ihnen mal was‹ öffnet er eine andere Tür...". Dieser Zusatz deutet darauf hin, dass der Kandidat mit dem Öffnen dieser Tür überrascht werden soll. Falls der Kandidat jedoch damit rechnet, dass der Moderator gemäß einer Spielregel auf jeden Fall eine andere Tür mit einer Ziege dahinter öffnet, hält sich seine Überraschung sicherlich in Grenzen. Anders gesagt: der Zusatz widerspricht der Annahme, dass das Öffnen einer Ziegentür durch den Moderator einer Spielregel entspricht. GvR dürfte also kaum zu derselben Lösung wie MvS kommen.
In vielen Artikeln zum Ziegenproblem wird die Ausgangssituation nicht einmal mehr genannt. Stattdessen werden nur kurz ein paar Regeln erklärt und der Leser mit Wahrscheinlichkeitstheorie und Simulationen konfrontiert. Ein Beispiel für diese verkürzte Darstellungsweise ist ![[]](/images/popup.gif) hier. Fälschlicherweise wird dort auch noch die amerikanische Show "Let's make a Deal" als Vorbild für das Ziegenproblem genannt. Fälschlicherweise deshalb, weil diese Show nach anderen als den auf der MathePrisma-Seite genannten Regeln ablief siehe hier.
Allerdings haben sich einige Leute die Mühe gemacht, die für die (2/3)-Lösung notwendigen Regeln einmal übersichtlich zusammenzutragen siehe hier.
Die Spielregeln:
1. Ein Auto und zwei Ziegen werden zufällig hinter drei Tore verteilt.
2. Zu Beginn des Spiels sind alle Tore verschlossen, sodass Auto und Ziegen nicht sichtbar sind (dem Moderator jedoch bekannt).
3. Der Kandidat wählt ein Tor aus, welches aber vorerst verschlossen bleibt.
4. Hat der Kandidat das Tor mit dem Auto gewählt, dann öffnet der Moderator zufällig ausgewählt eines der beiden anderen Tore, hinter dem sich immer eine Ziege befindet.
5. Hat der Kandidat ein Tor mit einer Ziege gewählt, dann öffnet der Moderator dasjenige der beiden anderen Tore, hinter dem die zweite Ziege steht.
6. Der Moderator bietet dem Kandidaten an, seine Entscheidung zu überdenken und das andere ungeöffnete Tor zu wählen.
7. Das vom Kandidaten letztlich gewählte Tor wird geöffnet und er erhält das Auto, falls es sich hinter diesem Tor befindet.
Diese Regeln sind dem Kandidaten bekannt. Auf den ersten Blick scheint es sich um ein komplexes Regelwerk zu handeln, auf den zweiten Blick allerdings stellt sich heraus, daß man die Regeln 3-7 zu einer neuen Regel 3* komprimieren kann:
3*. Der Kandidat darf zwei freigewählte Tore bestimmen, die der Moderator öffnen muss, und er erhält das Auto, falls es sich hinter einem dieser Tore befindet.
Um es an einem Beispiel klar zu machen: Der Kandidat möchte Tor1 und Tor3 öffnen lassen. Er wählt also Tor2, das verschlossen bleibt und wechselt dann zum verbliebenen Tor, welches der Moderator nicht geöffnet hat.
Gemäß Regel 3* hat der Kandidat offensichtlich eine Gewinnchance von P=2/3. Man benötigt also weder höhere Mathematik wie z.B. bedingte Wahrscheinlichkeiten noch aufwendige Simulationen, um auf dieses Ergebnis zu kommen. Stattdessen ergibt sich sowohl die a-priori-Wahrscheinlichkeit P=2/3 für den Gewinn als auch die Wechsel-"Strategie" ganz zwanglos aus diesen Spielregeln. Es erscheint nun auch müßig, den Erfolg dieser Wechsel-"Strategie" nachträglich nocheinmal beweisen zu wollen, denn diese "Strategie" ist ja die Voraussetzung dafür, dass der Kandidat zwei Tore seiner Wahl öffnen lassen darf.
Ich möchte an dieser Stelle nochmal auf die Ausgangslage zurückkommen. Nachdem ich oben, denke ich, plausibel machen konnte, dass GvR´s Fragestellung nicht der von MvS entspricht, möchte ich zur Diskussion stellen, dass MvS´s Lösung nicht die einzig richtige ist. Eigentlich ist sie sogar, wenn man an das dazu nötige Regelwerk denkt, ziemlich unrealistisch. Ein Moderator mit solchen Verhaltensbeschränkungen dient nur noch als Türöffner für die Kandidaten und wäre eigentlich überflüssig. Um ihm seine eigenständige Rolle wiederzugeben muss man realistischerweise annehmen, dass er sich an keine immer gültigen Spielregeln hält. Man hat natürlich mehrere Möglichkeiten, den Leserbrief anders als MvS zu interpretieren. Zwei Beispiele sollen hier genügen:
1. Der Kandidat hat mit Tor1 das Gewinntor gewählt, und der heute böswillige Moderator möchte ihn nun zum Wechseln ermuntern, indem er ein Verlusttor öffnet. Wechseln verliert.
2. Der Kandidat hat mit Tor1 das Verlusttor gewählt, und der heute gutwillige Moderator möchte ihn nun zum Wechseln ermuntern, indem er ein anderes Verlusttor öffnet. Wechseln gewinnt.
Der Kandidat weiß selbstverständlich nichts über den heutigen inneren Zustand des Moderators. Er kann deshalb keine Berechnungen über seine Gewinnchance anstellen, weil ihm die dazu nötigen Informationen fehlen. Die reale Show mit Monty Hall lief meines Wissens so ab, dass für die Kandidaten kein Verhaltensmuster des Moderators erkennbar war.
Zum Schluss möchte ich noch einige Fragen an die Fachgemeinde hier richten:
1. Woher kommt die Tendenz (siehe MvS), fehlende Informationen willkürlich durch Regeln zu ersetzen?
2. Wie kommt es, dass es vielen Leuten anscheinend schwerfällt zu unterscheiden zwischen der Beschreibung einer einmaligen Spielsituation und der Aufstellung eines allgemeingültigen Regelwerks?
3. Wie kann es sein, dass die mediale Verbreitung des Ziegenproblems und der (2/3)-Lösung im deutschsprachigen Raum durch GvR so erfolgreich verlief, obwohl seine spezielle Formulierung der Fragestellung diese Lösung eigentlich kaum zulässt?
4. Warum wird die (2/3)-Lösung gerne und unnötigerweise so aufwendig begründet wie z.B. hier?
Chris
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:38 So 05.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Chris!
> Auf vielfachen Wunsch
Wer wuenscht das denn?
> Die Fragestellung:
>
> Variante 1 (Craig F. Whitaker):„Nehmen Sie an, Sie wären
> in einer Spielshow und hätten die Wahl zwischen drei
> Toren. Hinter einem der Tore ist ein Auto, hinter den
> anderen sind Ziegen. Sie wählen ein Tor, sagen wir, Tor
> Nummer 1, und der Showmaster, der weiß, was hinter den
> Toren ist, öffnet ein anderes Tor, sagen wir, Nummer 3,
> hinter dem eine Ziege steht. Er fragt Sie nun: ‚Möchten
> Sie das Tor Nummer Zwei?‘ Ist es von Vorteil, das Tor
> Nummer 2 zu wählen?"
>
> Auf diese Frage antwortete Marilyn vos Savant (MvS):"Ja,
> Sie sollten wechseln. Das zuerst gewählte Tor hat die
> Gewinnchance von 1/3, aber das zweite Tor hat eine
> Gewinnchance von 2/3." Was in der Antwort zunächst fehlt
> ist die Angabe bestimmter Spielregeln, die eingehalten
> werden müssen, um zu ihrer Lösung zu kommen. MvS hat
> nachweislich die Beschreibung dieser Spielsituation so
> interpretiert, dass die Show nach immer den gleichen Regeln
> ablaufen muss.
Ja, das hat er so interpretiert.
> Variante 2 (Gero von Randow (GvR)):"Sie nehmen an einer
> Spielshow im Fernsehen teil, bei der Sie eine von drei
> verschlossenen Türen auswählen sollen. Hinter einer Tür
> wartet der Preis, ein Auto, hinter den beiden anderen
> stehen Ziegen. Sie zeigen auf eine Tür, sagen wir, Nummer
> eins. Sie bleibt vorerst geschlossen. Der Moderator weiß,
> hinter welcher Tür sich das Auto befindet; mit den Worten
> ›Ich zeige Ihnen mal was‹ öffnet er eine andere Tür,
> zum Beispiel Nummer drei, und eine meckernde Ziege schaut
> ins Publikum. Er fragt: ›Bleiben Sie bei Nummer eins,
> oder wählen Sie Nummer zwei?"
>
> GvR gibt dieselbe Lösung wie MvS an, obwohl seine
> Fragestellung einen wesentlichen Unterschied
> beinhaltet:"...mit den Worten ›Ich zeige Ihnen mal was‹
> öffnet er eine andere Tür...". Dieser Zusatz deutet
> darauf hin, dass der Kandidat mit dem Öffnen dieser Tür
> überrascht werden soll. Falls der Kandidat jedoch damit
> rechnet, dass der Moderator gemäß einer Spielregel auf
> jeden Fall eine andere Tür mit einer Ziege dahinter
> öffnet, hält sich seine Überraschung sicherlich in
> Grenzen. Anders gesagt: der Zusatz widerspricht der
> Annahme, dass das Öffnen einer Ziegentür durch den
> Moderator einer Spielregel entspricht. GvR dürfte also
> kaum zu derselben Lösung wie MvS kommen.
Nun, der Zusatz aendert nichts daran, dass hier ebenfalls die Information ueber die Spielregeln fehlt. Damit ist die Situation die gleiche wie oben: zur Loesung wird angenommen, dass der Moderator immer eine Tuer mit Ziege oeffnet, egal was der Kandidat waeht.
> In vielen Artikeln zum Ziegenproblem wird die
> Ausgangssituation nicht einmal mehr genannt. Stattdessen
> werden nur kurz ein paar Regeln erklärt und der Leser mit
> Wahrscheinlichkeitstheorie und Simulationen konfrontiert.
> Ein Beispiel für diese verkürzte Darstellungsweise ist
> hier.
Das ist doch auch gut so?
> Die Spielregeln:
>
> 1. Ein Auto und zwei Ziegen werden zufällig hinter drei
> Tore verteilt.
> 2. Zu Beginn des Spiels sind alle Tore verschlossen,
> sodass Auto und Ziegen nicht sichtbar sind (dem Moderator
> jedoch bekannt).
> 3. Der Kandidat wählt ein Tor aus, welches aber
> vorerst verschlossen bleibt.
> 4. Hat der Kandidat das Tor mit dem Auto gewählt, dann
> öffnet der Moderator zufällig ausgewählt eines der
> beiden anderen Tore, hinter dem sich immer eine Ziege
> befindet.
> 5. Hat der Kandidat ein Tor mit einer Ziege gewählt,
> dann öffnet der Moderator dasjenige der beiden anderen
> Tore, hinter dem die zweite Ziege steht.
> 6. Der Moderator bietet dem Kandidaten an, seine
> Entscheidung zu überdenken und das andere ungeöffnete Tor
> zu wählen.
> 7. Das vom Kandidaten letztlich gewählte Tor wird
> geöffnet und er erhält das Auto, falls es sich hinter
> diesem Tor befindet.
>
> Diese Regeln sind dem Kandidaten bekannt. Auf den ersten
> Blick scheint es sich um ein komplexes Regelwerk zu
> handeln, auf den zweiten Blick allerdings stellt sich
> heraus, daß man die Regeln 3-7 zu einer neuen Regel 3*
> komprimieren kann:
>
> 3*. Der Kandidat darf zwei freigewählte Tore bestimmen,
> die der Moderator öffnen muss, und er erhält das Auto,
> falls es sich hinter einem dieser Tore befindet.
Sieht gut aus.
> Ich möchte an dieser Stelle nochmal auf die Ausgangslage
> zurückkommen. Nachdem ich oben, denke ich, plausibel
> machen konnte, dass GvR´s Fragestellung nicht der von MvS
> entspricht, möchte ich zur Diskussion stellen, dass MvS´s
> Lösung nicht die einzig richtige ist. Eigentlich ist sie
> sogar, wenn man an das dazu nötige Regelwerk denkt,
> ziemlich unrealistisch. Ein Moderator mit solchen
> Verhaltensbeschränkungen dient nur noch als Türöffner
> für die Kandidaten und wäre eigentlich überflüssig. Um
> ihm seine eigenständige Rolle wiederzugeben muss man
> realistischerweise annehmen, dass er sich an keine immer
> gültigen Spielregeln hält. Man hat natürlich mehrere
> Möglichkeiten, den Leserbrief anders als MvS zu
> interpretieren. Zwei Beispiele sollen hier genügen:
>
> 1. Der Kandidat hat mit Tor1 das Gewinntor gewählt, und
> der heute böswillige Moderator möchte ihn nun zum
> Wechseln ermuntern, indem er ein Verlusttor öffnet.
> Wechseln verliert.
>
> 2. Der Kandidat hat mit Tor1 das Verlusttor gewählt, und
> der heute gutwillige Moderator möchte ihn nun zum Wechseln
> ermuntern, indem er ein anderes Verlusttor öffnet.
> Wechseln gewinnt.
>
> Der Kandidat weiß selbstverständlich nichts über den
> heutigen inneren Zustand des Moderators. Er kann deshalb
> keine Berechnungen über seine Gewinnchance anstellen, weil
> ihm die dazu nötigen Informationen fehlen. Die reale Show
> mit Monty Hall lief meines Wissens so ab, dass für die
> Kandidaten kein Verhaltensmuster des Moderators erkennbar
> war.
Die einzig wichtige Frage ist: bietet er immer einen Wechsel an, oder nur manchmal? Wenn er immer einen anbietet, ist die 2/3-Loesung richtig. Wenn nicht, waren die Annahmen die zur Loesung gefuehrt haben falsch.
> 1. Woher kommt die Tendenz (siehe MvS), fehlende
> Informationen willkürlich durch Regeln zu ersetzen?
Vermutlich weil man das Ziegenproblem nicht anhand abstrakter Regeln erklaeren moechte, sondern anhand eines konkreten Beispieles. Das ist fuer viele Leute verstaendlicher, abstrakte Regeln schrecken erstmal ab.
> 2. Wie kommt es, dass es vielen Leuten anscheinend
> schwerfällt zu unterscheiden zwischen der Beschreibung
> einer einmaligen Spielsituation und der Aufstellung eines
> allgemeingültigen Regelwerks?
Vermutlich weil viele Leute nie ueber solche Probleme nachgedacht haben bzw. dazu angehalten wurden, darueber nachzudenken. Es gibt auch viele Leute, fuer die Beispiele und Beweise irgendwie dasselbe sind.
> 3. Wie kann es sein, dass die mediale Verbreitung des
> Ziegenproblems und der (2/3)-Lösung im deutschsprachigen
> Raum durch GvR so erfolgreich verlief, obwohl seine
> spezielle Formulierung der Fragestellung diese Lösung
> eigentlich kaum zulässt?
Inwiefern laesst die spezielle Formulierung der Fragestellung diese Loesung eigentlich kaum zu?
> 4. Warum wird die (2/3)-Lösung gerne und unnötigerweise
> so aufwendig begründet wie z.B.
> hier?
Damit sich jeder die Begruendung heraussuchen kann, die er am besten versteht / nachvollziehen kann. Gerade beim Ziegenproblem gibt es viele Leute, die erst nicht verstehen wollen, warum die Wahrscheinlichkeit 2/3 ist, oder die Argumentationen fuer Wahrscheinlichkeiten von 1/2 oder sonstwas kennen. Wenn man ihnen nur eine kurze Loesung gibt, kann es vorkommen dass sie diese nicht akzeptieren. Wenn man ihnen jedoch eine ueberwaeltigende Menge an Loesungen mit verschiedenstem Detailreichtum anbietet, die alle das gleiche Aussagen (naemlich 2/3), sind sie eher zu ueberzeugen.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:10 So 05.09.2010 | | Autor: | wieschoo |
Ich kenne noch eine schöne Möglichkeit einen nicht bewanderten Menschen oder einem sturren Menschen den Unterschied der Wahrscheinlichkeiten des MontyHallProblems beizubringen (obwohl es ein wenig abgewandelt ist):
Man stelle sich statt der 3 Türen einfach 1000 (1 Auto + Rest ziegen) vor. Man wählt eine Tür und der Showmaster öffnet nun 998 Türen mit Ziegen. Nur die gewählte Tür und eine andere bleibt verschlossen. Jetzt möchte ich den Spielteilnehmer kennenlernen, der nicht wechselt.
Das wollte ich nur loswerden. Weil es viele gibt, die trotz dieser vielen Beweise es nicht glauben wollen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:55 Mo 06.09.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo wieschoo,
auch mit 1000 Türen wirst Du die meisten Menschen nicht überzeugen.
Schließlich stehen 998 offen und man hat Mühe, die Ziegen draußen zu halten. Trotzdem ist der erste und natürliche Denkreflex, die Aufgabe nun eben auf zwei Türen, dahinter ein Auto und eine Ziege, zu reduzieren. Und da stehen die Chancen doch fifty-fifty...
Der Moderator hat also oberflächlich betrachtet nur meine Chancen verbessert, jede verbleibende Tür für sich betrachtet scheint aber weiter gleich wahrscheinlich.
Ein psychologisches Moment spielt mit hinein: vielleicht will der mich ja nur zum Wechseln bewegen, gerade weil ich richtig liege. Oder noch schlimmer, der hat nur wahllos 998 Türen geöffnet, und das beweist ja schon fast, dass ich Recht habe. Sonst hätte er doch dabei auch das Auto aufgedeckt, oder?
Diesen Argumentationen wirst Du mit aller Wahrscheinlichkeitsrechnung nicht beikommen können.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Mo 04.10.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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