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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:23 Di 01.01.2008 | | Autor: | matheja |
| Aufgabe | Guten Abend.Bin gerad an meiner Analysisübung dran und braüchte ein bisschen Hilfe.
Bei welchem Verhaltnis der Hohe h zum Radius r hat ein Zylinder gegebener Oberflache A
das großte Volumen V ? Geben Sie dieses Volumen an.
Uberprufen Sie die Maximaleigenschaft des Volumens auf zwei unterschiedliche Weisen. Verwenden
Sie dazu
a) ein hinreichendes Kriterium,
b) Uberlegungen zum Verhalten der Zielfunktion fur [mm] r\to [/mm] 0+ und [mm] r\to\infty
[/mm]
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meine ansätze:
[mm] (1):V=\pi*r^{2}*h [/mm]
[mm] (2):A=2\pi*r^{2}+2\pi*r*h [/mm] / nach h auflösen
[mm] (3):h=(A/2\pi*r)-r [/mm] / in (1) einstetzen
so dass ich folgende Funktion als Zielfunktion erhalte
[mm] (4):V(r)=\pi*r^{2}*(A/2\pi*r)-r)
[/mm]
[mm] =\pi*r^{4}*(A/2)
[/mm]
zu a: müsste also jetzt meine Zielfunktion (4) ableiten
[mm] V(r)^{1} [/mm] sei erste ableiteung der Zielfunktion (4)
[mm] V(r)^{1}=4\pi*r^{3}*(A/2)
[/mm]
da nur nach hinreichender Kriterium gefragt
[mm] V(r)^{1}=0=4\pi*r^{3}*(A/2) [/mm]
Ich bin mir aber unsicher ob das so reicht, oder ob ich noch etwas machen muss??
zu b;
1.Fall :
[mm] V´(r)\limes_{n\rightarrow\(O+)} [/mm] strebt gegen 0
2.Fall:
[mm] V´(r)\limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] streben gegen unendlich
keine ahnung on ndas so richtig ist, wär echt nett wenn mir jemand von euch helfen könnte.Vielen Dank im Vorraus
matheja
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:39 Di 01.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo matheja!
Beim Zusammenfassen der Zielfunktion machst Du einen Fehler. Es muss heißen:
$$V(r) \ = \ [mm] \pi*r^2*\left(\bruch{A}{2*\pi*r}-r\right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{2}*r-\pi*r^3$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 Di 01.01.2008 | | Autor: | matheja |
| Aufgabe | Danke Loddar
Eine Frage ich hab ich aber noch.Laut Aufagenstellung soll ich die Maximaleigenschaft überprüfen.Weiß aber nich genau wie das machen soll aus der schulzeit weiß ich, dass man dazu eine hinreichende und eine notwendige Bedingung braucht.
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not.Bed.
[mm] V(r)^{1}=0=(A/2)-3\pi*r^{2}
[/mm]
hin.Bed.
[mm] V(r)^{2}=0=(A/2)-6\pi*r
[/mm]
(i)wenn [mm] V(r)^{2}<0 [/mm] => liegt maximum vor.Das lässt aber doch nicht pauschalisieren weil es ja noch vom Oberflächeninhalt (A) abhängt.
Daher ist meiner Meinung nach auch dieser Fall möglich :
(ii)wenn [mm] V(r)^{2}>0 [/mm] => liegt minimum vor.
Oder zeigen sich einfach nur ausnütscherungserscheinungen und ich hab die letzen noch verbleibenden gehirnzellen weggesoffen:)
Danke im Vorraus
matheja
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:30 Di 01.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo matheja!
Sinnvoll im Sinne dieser Aufgabe / Anwendung sind doch lediglich positive Werte für $A_$ und $r_$ .
Damit ist die 2. Ableitung doch für alle positive $r_$ immer negativ.
Denn korrekt lautet die 2. Ableitung hier: $V''(r) \ = \ [mm] -6*\pi*r$ [/mm] .
(Der Term mit $A/2_$ entfällt beim Ableiten.)
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:44 Di 01.01.2008 | | Autor: | matheja |
Hey Danke.Macht sinn.Hast mir echt sehr weitergeholfen.
Vielen Vielen Dank
matheja
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