Zinseszins auf Barwert < Finanzmathematik < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:16 Fr 28.01.2005 | | Autor: | mahrt |
hallo,
habe probleme bei folgender aufgabe:
jährliche zahlung: 500
zins: 6%
laufzeit: 20 jahre
der barwert beträgt 5.734,96 . wenn ich nun das kapital am ende der laufzeit wissen möchte, muß ich den betrag mit 1,06^20 multiplizieren.
warum muß ich hier die zinseszins-formel verwenden? warum reicht nicht die einfache verzinsung? wie lautet die formel, wenn ich das kapital nach 20 jahren ohne den barwert berechnen möchte?
vielen dank für eure hilfe!
ps: hatte das mal im studium und muß nun einem freund nachhilfe geben... also alles sehr peinlich.... freu mich auf eure antworten!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:13 Fr 28.01.2005 | | Autor: | Josef |
Hallo mart,
> habe probleme bei folgender aufgabe:
> jährliche zahlung: 500
> zins: 6%
> laufzeit: 20 jahre
>
> der barwert beträgt 5.734,96 . wenn ich nun das kapital am
> ende der laufzeit wissen möchte, muß ich den betrag mit
> 1,06^20 multiplizieren.
>
> warum muß ich hier die zinseszins-formel verwenden? warum
> reicht nicht die einfache verzinsung? wie lautet die
> formel, wenn ich das kapital nach 20 jahren ohne den
> barwert berechnen möchte?
Ich verstehen deine Frage nicht so ganz.
Hier etwas allgemeines zur Zinsrechnung:
Die einfache Verzinsung soll an folgendem Beispiel veranschaulicht werden.
Ein Sparer überläßt einer Bank ein Kapital von 1000 Euro und vereinbart mit der Bank, dass diese ihm jeweils nach Ablauf eines Jahres einen Zins von p = 6 % zahlt. Die gutgeschriebenen Zinsen werden jedoch nicht dem überlassenen Kapital zugeschlagen, sondern auf einem anderen Konto unverzinslich angesammelt.
In diesem Beispiel bilden die überlassenen 1000 Euro das Anfangskapital des Verzinsungsvorgangs. Dafür läßt sich schreiben:
[mm] K_0 [/mm] = 1000
Bei den vereinbarten p = 6 % Zinsen erhält der Sparer nach Ablauf eines Jahres für je 100 Euro angelegtes Kapital 6 Euro Zinsen. Für 1000 Euro Kapital erhält er damit 60 Euro Zinsen. Am Ende des ersten Anlagejahres verfügt der Sparer über ein Endkapital von
[mm] K_1 [/mm] = 100 + 60 = 1060
Den Wert des Endkapitals kann man auch unter Verwendung des Zinssatzes i ermitteln. In dem Beispiel ist
i = [mm]\bruch{6}{100}[/mm] = 0,06
Das bedeutet, dass der Sparer für jeden angelegten Euro nach Ablauf eines Jahres 0,06 Euro an Zinsen erhält. Da der Sparer insgesamt 1000 Euro angelegt hat, erhält er 1000*0,06 = 60 Euro Zinsen.
Am Ende der zweiten Zinsperiode erhält der Sparer wiederum die gleichen Zinsen wie am Ende der ersten Zinsperiode, also wieder in Höhe von 60 Euro. Der Wert seines Kapitals am Ende des zweiten Jahres einschließlich aller gezahltenr Zinsen ist damit 1120 Euro.
Entsprechend entwickelt sich das Kapital bei einfacher Verzinsung in den Folgejahren weiter. Man kann damit den Wert eines Kapitals [mm] K_0 [/mm] , das n Jahre lang einfach verzinst wurde, berechnen nach:
[mm] K_n [/mm] = [mm] K_0*(1+n*i)
[/mm]
Diese Gleichung kann man umformen zu:
[mm] K_0 [/mm] = [mm] K_n*[/mm] [mm]\bruch{1}{1+n*i}[/mm]
Mit Hilfe dieser Beziehung kann man die Höhe des Anfangskapitals eines Verzinsungsvorgangs bei einfacher Verzinsung bestimmen, wenn Zinssatz, Laufzeit (in Jahren) und Höhe des Endkapitals bekannt sind. Dieses Anfangskaptal bezeichnet man auch als Barwert eines Verzinsungsvorgangs. Der Barwert ist zu interpretieren als das Anfangskapital, das notwendig ist, um bei p % einfachen Zinssen auf das vorgegebene Endkapital [mm] K_n [/mm] anzuwachen.
Verzinsung mit Zinseszinsen:
Ein Sparer überläßt am 1.1. eines Jahres ein Kapital einer Bank und vereinbart mit dieser, dass sie ihm jeweils nach Ablauf eines Jahres p % Zinsen als Entgelt für die Kapitalüberlassung zahlt. Die gezahlten Zinsen sollen dem überlassenen Kapital zugerechnet werden und somit den Kapitalbestand für die jeweils nachfolgende Anlageperiode erhöhen. Am Ende des jeweils nachfolgenden Jahres werden wieder p % Zinsen gezahlt, aber berechnet von dem erhöhten Kapitalbestand.
Allgemein kann man die Höhe eines zinseszinslich angesammelten Endkapitals berechnen nach:
[mm] K_n [/mm] = [mm] K_0*(1+i)^n
[/mm]
Der Faktor [mm] (1+i)^n [/mm] wird oft als der Aufzinsungsfaktor bezeichnet, für das man meist abgekürzt schreibt:
[mm] (1+i)^n [/mm] = [mm] q^n
[/mm]
Die Zinseszinsformel lautet demnach:
[mm] K_n [/mm] = [mm] K_0*q^n
[/mm]
Der Barwert kann interpretiert werden als Anfangskapital eines Verzinsungsvorgangs, dessen Kapital heute auf einen bestimmten bekannten Betrag angewachsen ist, wenn Zinshöhe und Laufzeit gegeben sind.
Den Barwert kann man berechnen nach der Formel:
[mm] K_o [/mm] = [mm] K_n*[/mm] [mm]\bruch{1}{q^n}[/mm]
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