Zinsrechnung < Finanzmathematik < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:51 Do 25.03.2004 | | Autor: | matthias |
Zwei Betraege deren Summe 120.000 ergibt werden zu 8% Jahreszins
angelegt.
Die Laufzeit von Betrag A ist 9 Monate kuerzer als die von Betrag B.
Am Ende der Laufzeiten betragen die Zinsen von Betrag A 4800 und
von Betrag B 4800 .
Wie hoch ist das Anfangskapital A und -kapital B und wie lange die
Laufzeit von B?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:19 Do 25.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo matthias,
willkommen im MatheRaum  !
> Zwei Betraege deren Summe 120.000 ergibt werden zu 8% Jahreszins angelegt.
> Die Laufzeit von Betrag A ist 9 Monate kuerzer als die von Betrag B.
> Am Ende der Laufzeiten betragen die Zinsen von Betrag A 4800 und
> von Betrag B 4800 .
>
> Wie hoch ist das Anfangskapital A und -kapital B und wie
> lange die Laufzeit von B?
Ich bin kein Experte auf diesem Gebiet, habe es aber trotzdem mal versucht zu lösen.
Zunächst habe ich angenommen, dass die Zinsen am Ende des Jahres gutgeschrieben werden, und dass es für das zweite Jahr Zinseszinsen gibt.
Dann habe ich mir überlegt, dass nicht beide Laufzeiten länger als ein Jahr sein können (da es dann mehr als 9600 Euro Zinsen gäbe) und auch nicht beide kürzer als ein Jahr betragen können (da es ja dann weniger als insgesamt 9600 Euro Zinsen gäbe).
Also beträgt die Laufzeit von Kapital A weniger als ein Jahr und die von Kapital B mehr als ein Jahr. Diese Überlegung war nötig für die Berechnung der Zinseszinsen.
Ich bezeichne mit $t$ die Anzahl der Tage, die Kapital B im seinem zweiten Jahr verzinst wird (seine gesamte Laufzeit ist somit $t+360$ Tage).
Die Laufzeit von Kapital A beträgt dann: $360-(9*30-t)=90+t$ Tage (Probe: $(t+360)-(t+90)=270$ Tage = 9 Monate).
Nun folgen unmittelbar folgende Gleichungen:
[mm] $K_1+K_2=120000$ [/mm] (klar)
[mm] $\bruch{K_1*0.08}{360}*(t+90)=4800$
[/mm]
[mm] $\underbrace{K_2*0.08}_{\mbox{Zinsen für's 1. Jahr}}+\underbrace{\bruch{K_2*1.08*0.08}{360}*t}_{\mbox{Zinsen für's 2. Jahr}}=4800$
[/mm]
Damit ist die Aufgabe gelöst, du mußt nur noch dieses Gleichungssystem lösen.
Das ist eine ziemliche Rechnerei, wie es am geschicktesten geht, kann ich dir nicht sagen.
Für den Fall, dass du keine Idee hast, hier das, was ich gemacht habe:
Ich habe die dritte Gleichung nach [mm] $K_2$ [/mm] aufgelöst, dann [mm] $K_2$ [/mm] in der ersten Gleichung eingesetzt und diese wiederum nach [mm] $K_1$ [/mm] aufgelöst. Dies habe ich dann in die zweite eingesetzt und nach $t$ aufgelöst.
Probier' es doch mal, dann können wir unsere Ergebnisse vergleichen, oder melde dich mit Fragen.
Viel Erfolg,
Marc
|
|
|
| |
|
Nun ja, es kommt tatsaechlich darauf an, wie die Verzinsung definiert wird. Wenn man einen jaehrlichen Zinseszins-Ansatz unterstellt, sieht der Ansatz folgendermassen aus:
Mit den Bezeichnungen
Jaehrlicher Zinsatz: [mm] p [/mm]
Anfangskapital: [mm] K [/mm]
Laufzeit in Jahren: [mm] t [/mm]
Erwirtschafteter Zins: [mm] Z [/mm]
muss gelten:
[mm] K(1+p)^t-K = Z [/mm]
Also mit den Notationen aus der Aufgabe haben wir folgende zwei Gleichungen zu loesen:
[mm] A(1,08)^t-A = 4800 [/mm]
[mm] B(1,08)^s-B = 4800 [/mm]
mit den Nebenbedingungen [mm] A+B = 120000 [/mm] und [mm] t+9/12=s [/mm].
Man kann jetzt z.B. die zweite Gleichung nach B aufloesen, in die erste einsetzen und so t bestimmen, oder so. Das macht sicher niemand gern.
Einfacher ist es, die Gleichungen von einem Computer loesen zu lassen.
Dann kommt
[mm]
A=80775,89;
[/mm]
[mm]
B=39224,11;
[/mm]
[mm]
t=0,75;
[/mm]
[mm]
s=1,5
[/mm]
raus (also Laufzeit B 18 Monate).
...ah, ich seh' gerade, daß das auch ohne Computer geht:
Die beiden Gleichungen umformen zu
[mm] (1,08)^s= \bruch{4800 }{A}+1[/mm] und
[mm] (1,08)^t= \bruch{4800 }{B}+1[/mm]
Jetzt die zweite Gleichung durch die erste teilen, das liefert:
[mm]
1,08^{s-t}=\bruch{\bruch{4800 }{B}+1}{\bruch{4800 }{A}+1}
[/mm]
Wenn man nun die Nebenbedingungen einsetzt kommt man auf eine quadratische Gleichung, die kannst Du selber lösen:
[mm]
1,08^{9/12}=\bruch{\bruch{4800 }{B}+1}{\bruch{4800 }{120000-B}+1}
[/mm]
Es kommt dasselbe raus (ach ?!).
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:01 Sa 27.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo GrafZahl,
> Nun ja, es kommt tatsaechlich darauf an, wie die Verzinsung
> definiert wird. Wenn man einen jaehrlichen
> Zinseszins-Ansatz unterstellt, sieht der Ansatz
> folgendermassen aus:
wie gesagt, ich kenne mich damit nicht aus, aber legt dein Ansatz nicht so zu sagen eine kontinuierliche Verzinsung zu Grunde?
Ich meine, wenn du mit [mm]A(1,08)^t-A=4800[/mm] ansetzt und $t=1{,}5$ heraus bekommst, warum entspricht das dann 18 Monaten?
Das ist dann doch nicht das Verzinsungsmodell, das bei Laufzeiten kürzer als ein Jahr die Jahreszinsen proportional zur Laufzeit gutschreibt, oder?
Weil es mir selbst nicht klar ist, hier ein Beispiel:
K=100, p=0,1, Laufzeit 18 Monate.
Ich würde so rechnen (laut Schulmathematik, aber der Unterschied zu realen Sparkonten ist doch nur, dass die Zinsen vierteljährlich statt jährlich gutgeschrieben werden):
[mm] $100+100*0.1+\bruch{100*1.1*0.1}{12}*6=115.50$
[/mm]
Dein Ansatz würde ergeben: [mm] $100*1.1^{1.5}=115.37$
[/mm]
Ich weiß nun leider nicht, welche Zinsmodelle es in der freien Wildbahn gibt, ich war mir aber bisher ziemlich sicher, dass sich mein Sparkonto nicht analog einem exponentiellem Wachstum verzinst (das sollte ich vielleicht mal überprüfen jetzt )
Alles Gute,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:14 Sa 27.03.2004 | | Autor: | GrafZahl |
Also, zunächst vorweg: was in der Aufgabe von Matthias gemeint war, können wir nur von Matthias selbst erfahren. Deswegen ist die Aufgabe tatsächlich nicht eindeutig lösbar. Es gibt aber dennoch ein paar (sinnvolle) Konventionen in der Zinsrechnung und bei Sparbüchern.
Ich denke, daß 'Verzinsung mit Zinseszins' die einfachste Interpretation der Aufgabe ist, andernfalls benötigt man Zusatzinformationen über die Zinstermine, wie Du das ja auch geschrieben hast.
Einfach ein paar Gedanken um die Problematik zu erläutern:
1) Klar sollte sein: Wenn eine Bank 4% Zinsen pro Jahr anbietet und X auf einem Sparbuch 100 Taler hat, so hat X nach einem Jahr 104 Taler.
2) Wenn Y dagegen 100 Taler einzahlt und dann vorzeitig nach 6 Monaten ihr Konto auflöst, erhält sie weniger als 102 Taler! Andernfalls wäre es doch günstiger für X gewesen, nach 6 Monaten ebenfalls das Konto aufzulösen und die 102 Taler sofort wieder einzuzahlen, denn dann werden für das zweite Halbjahr nicht 100, sondern 102 Taler als Grundlage für die Verzinsung genommen, und so hätte X nach einem Jahr 104 Taler + ein paar zerquetschte. Das heißt, es wäre schlau, das Geld so oft wie möglich abzuheben und neu einzuzahlen. Der genaue Betrag, den Y erhalten muß, damit alles konsistent bleibt, ist [mm] 100*(1,04)^0.5.
[/mm]
3) Die gleiche Überlegung wie in 2) kann man nun für Wochen, Tage etc. anstellen. Stets gilt: Akkumulierter Betrag nach Zeit t: [mm] 100*(1,04)^t [/mm] (t in Jahreseinheiten). Das ist weniger als 100+4*t !
4) Der Unterschied wird häufig mit der Terminologie 'Nominalzins' vs. 'Effektivzins' und 'einfache Verzinsung' vs. 'Verzinsung mit Zinseszins' umschrieben.
5) Kontinuierliche, d.h. stetige Verzinsung ist per Definitionem wieder etwas anderes - da kommt man hin, wenn man Zinssätze für beliebig kleine Zeitintervalle berechnen will. Da kommt dann die e-Funktion ins Spiel, ist aber mathematisch die vielleicht einfachste Betrachtungsweise.
6) Bei der Aufgabe, Deiner Bank und Deinem Beispiel kommt es nun schlicht darauf an, wie ein Zinssatz von 4% definiert wird. Bei Deiner Bank kann man das ja ganz einfach rauskriegen: Zwei Sparbücher mit je 1000 Euro anlegen, das eine ein Jahr ruhen lassen, und beim andern jeden Tag zur Bank gehen und stets alles aus- und wieder einzahlen. Aber immer nett zum Schaltermann sein, der versteht das Experiment vielleicht nicht.
Und 'Verzinsung mit Zinseszins' ist so definiert, daß der sog. 'Unterjährige Zinssatz' durch [mm]A(1+p)^t-A[/mm] bestimmt wird. Und wenn nun [mm]t=1,5[/mm] ist, entspricht das 18 Monaten, da der Zinssatz [mm]p[/mm] in Jahren angegeben wurde.
Alles klar?!
'
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:26 Di 30.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo GrafZahl!
> 2) Wenn Y dagegen 100 Taler einzahlt und dann vorzeitig
> [...]
> neu einzuzahlen. Der genaue Betrag, den Y erhalten muß,
> damit alles konsistent bleibt, ist [mm] 100*(1,04)^0.5.
[/mm]
Das habe ich jetzt verstanden, das war mir so nicht bewußt.
> 3) Die gleiche Überlegung wie in 2) kann man nun für
> Wochen, Tage etc. anstellen. Stets gilt: Akkumulierter
> Betrag nach Zeit t: [mm] 100*(1,04)^t [/mm] (t in Jahreseinheiten).
> Das ist weniger als 100+4*t !
Klar.
> 4) Der Unterschied wird häufig mit der Terminologie
> 'Nominalzins' vs. 'Effektivzins' und 'einfache Verzinsung'
> vs. 'Verzinsung mit Zinseszins' umschrieben.
Aha, jetzt weiß ich das auch mal endlich.
> 5) Kontinuierliche, d.h. stetige Verzinsung ist per
> Definitionem wieder etwas anderes - da kommt man hin, wenn
> man Zinssätze für beliebig kleine Zeitintervalle berechnen
> will. Da kommt dann die e-Funktion ins Spiel, ist aber
> mathematisch die vielleicht einfachste Betrachtungsweise.
>
> 6) Bei der Aufgabe, Deiner Bank und Deinem Beispiel kommt
> es nun schlicht darauf an, wie ein Zinssatz von 4%
> definiert wird. Bei Deiner Bank kann man das ja ganz
> einfach rauskriegen: Zwei Sparbücher mit je 1000 Euro
> anlegen, das eine ein Jahr ruhen lassen, und beim andern
> jeden Tag zur Bank gehen und stets alles aus- und wieder
> einzahlen. Aber immer nett zum Schaltermann sein, der
> versteht das Experiment vielleicht nicht.
Das probier ich mal per Online-Banking 
Aber es stimmt, ich wollte das schon mal bei meinem Konto nachvollziehen, wie genau die Zinsen dort berechnet werden, habe das aber immer wegen der vielen Kontobewegungen und dem niedrigen Zinserlös verworfen...
> Und 'Verzinsung mit Zinseszins' ist so definiert, daß der
> sog. 'Unterjährige Zinssatz' durch [mm]A(1+p)^t-A[/mm] bestimmt
> wird. Und wenn nun [mm]t=1,5[/mm] ist, entspricht das 18 Monaten,
> da der Zinssatz [mm]p[/mm] in Jahren angegeben wurde.
>
> Alles klar?!
Ja, sehr vielen Dank, das ist mir endlich mal klar geworden.
Weißt du zufällig, ob das "einfache Verzinsungsmodell" in der Geschäftswelt überhaupt eine Anwendung hat? Wenn eine Bank die Auflösung eines Kontos nur zu bestimmten Zeitpunkten (z.B. halbjährlich) ermöglicht, wären die Nachteile der einfachen Verzinsung doch fast ausgeglichen, aber welche Vorteile hätte das schon?
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
> Weißt du zufällig, ob das "einfache Verzinsungsmodell" in
> der Geschäftswelt überhaupt eine Anwendung hat? Wenn eine
> Bank die Auflösung eines Kontos nur zu bestimmten
> Zeitpunkten (z.B. halbjährlich) ermöglicht, wären die
> Nachteile der einfachen Verzinsung doch fast ausgeglichen,
> aber welche Vorteile hätte das schon?
...ja es gibt durchaus Anwendungen für den Nominalzins in der Finanzwelt.
Wohl kaum bei Sparbüchern, aber dafür bei Anleihen. Wenn Du z.B. eine Anleihe (engl. 'bond') kaufst (z.B. eine Bundesobligation, oder einen Bundesschatzbrief vom Typ A, gibt's aber auch von privaten Unternehmen), so erhälst Du i.d.R. sogenannte Kuponzahlungen, oft jährlich oder halbjährlich, sowie eine pauschale Kapital-Rückzahlung (den 'Nennwert')
nach n Jahren. Dabei hat Gläubiger nicht die Option, auf die Kuponzahlungen zu verzichten, um später noch mehr zu erhalten oder so. (Das wäre übrigens ein Bundesschatzbrief vom Typ B).
Abstrakt könnte man die Kuponzahlungen also als Nominalzins interpretieren - das ist der Betrag, den ich tatsächlich jedes Jahr erhalte.
Um den Effektivzins [mm]z[/mm] zu bestimmen, muß man eine Gleichung der Form
[mm]P = \summe_{i=1}^n c_i (1+z)^{-i}+ N(1+z)^{-n}[/mm]
lösen ([mm]P[/mm] ist der Preis, [mm]c_i[/mm] der Kupon und [mm]N[/mm] der Nennwert), dann kann man die Rendite (engl. 'yield') mit einem Sparbuchzins vergleichen. Beides wird in den Wirtschaftsteilen der Zeitungen und in Verkaufsprospekten angegeben. Das ganze kann man z.B. hier in Aktion sehen: http://www.bundesbank.de/kredit/download/aktuell.pdf
Nicht unbedingt höhere Mathe, aber hoffentlich dennoch interessant...
Viele Grüße: GrafZahl
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:06 Sa 27.03.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Marc,
Rasmus hat recht, man muss hier den Jahreszinssatz nehmen und mit geometrischer Verzinsung rechnen. Die arithmetischen Verzinsungsformeln aus der Schule sind zu naiv und würden, wie von Rasmus beschrieben, zu Arbitrage-Möglichkeiten führen (Arbitrage=risikoloser Gewinn ohne externen Kapitalzufluss).
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:02 Mo 24.05.2004 | | Autor: | Josef |
Mein Lösungsvorschlag: Lineare (einfache) Verzinsung.
A+B = 120.000
A = 120.000-B
I.: [mm] A*0,08*\bruch{m}{12} [/mm] = 4.800
II: [mm] B*0,08*(\bruch{m}{12} [/mm] + [mm] \bruch{9}{12}) [/mm] = 4.800
I: [mm] (120.000-B)*0,08*\bruch{m}{12} [/mm] = 4.800 | : 0,08
[mm] (120.000-B)*\bruch{m}{12} [/mm] = 60.000 | : [mm] \bruch{m}{12}
[/mm]
(120.000-B) = [mm] \bruch{720.000}{m} [/mm] | - 120.000
-B = [mm] \bruch{720.000}{m} [/mm] -120.000 | *-1
B = [mm] -\bruch{720.000}{m} [/mm] +120.000
B in Gleichung II einsetzen:
[mm] (-\bruch{720.000}{m} [/mm] + [mm] 120.000)*0,08*(\bruch{m}{12}+\bruch{9}{12}) [/mm] = 4.800 | : 0,08
[mm] (-\bruch{720.000}{m} [/mm] + [mm] 120.000)*(\bruch{m}{12}+{9}{12}) [/mm] = 60.000
[mm] -\bruch{720.000m}{12m} [/mm] + [mm] \bruch{120.000m}{12} [/mm] - [mm] \bruch{6.480.000}{12m} [/mm] + [mm] \bruch{1.080.000}{12} [/mm] = 60.000 | HN = 12m
-720.000m + [mm] 120.000m^2 [/mm] - 6.480.000 + 1.080.000m = 720.000m
[mm] 120.000m^2 [/mm] - 360.000m -6.480.000 = 0 | : 120.000
[mm] m^2-3m-54 [/mm] = 0
[mm] m_1 [/mm] = 9
[mm] m_2 [/mm] = -6
hier gilt nur [mm] m_1 [/mm] = 9
Ergebnis in obige Gleichung I einsetzen:
[mm] A*0,08*\bruch{9}{12} [/mm] = 4.800
A*0,06 = 4.800
A = 80.000
80.000 + B = 120.000
B = 40.000
|
|
|
|
