Zueinander konjugierte Matrize < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:34 Mo 07.07.2008 | | Autor: | svenpile |
| Aufgabe | Aufg.1
a.) Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei n [mm] \in \IN, 1\le [/mm] n [mm] \le [/mm] 6. Seien A,B [mm] \in [/mm] M(n,K) zwei nilpotente Matrizen. Zeigen sie A und B sind genau dann zueinander konjugiert, wenn [mm] p_A=p_B [/mm] und rk(A)=rk(B).
b.) Geben sie zwei nilpotente Matrizen aus M(7,K) an mit gleichem Rang und gleichem Minimalpolynom, die jedoch nicht zueinander konjugiert sind. |
Hallo
zu a.)
Also da die Matrizen ähnlich sind müsste B ja folgendermaßen darstellbar sein
[mm] B=S^{-1}AS. [/mm] Leider weiß ich aber nicht wie man allgemein nilpotente Matrizen aufstellen kann und somit komme ich bei dieser Aufgabe nicht weiter.
zu b.) Da wäre auch ein kleiner Tipp ganz gut
Liebe Grüße
Sven
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> Aufg.1
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> a.) Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei n
> [mm]\in \IN, 1\le[/mm] n [mm]\le[/mm] 6. Seien A,B [mm]\in[/mm] M(n,K) zwei nilpotente
> Matrizen. Zeigen sie A und B sind genau dann zueinander
> konjugiert, wenn [mm]p_A=p_B[/mm] und rk(A)=rk(B).
Hallo,
ich würde hierfür zeigen, daß die beiden Matrizen die gleiche JNF haben.
Hierfür mußt Du wohl die Fälle n=1,...,6 getrennt untersuchen.
Wenn Du das durchgezogen hast, fällt Dir vermutlich ein Beispiel für b) ein.
Überleg Dir zunächst, welche Eigenwerte nilpotente Matrizen haben, was das Minimalpolynom mit der JNF zu tunng hat und was die Ränge mit der Dimension des Eigenraumes.
Gruß v. Angela
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> b.) Geben sie zwei nilpotente Matrizen aus M(7,K) an mit
> gleichem Rang und gleichem Minimalpolynom, die jedoch nicht
> zueinander konjugiert sind.
> Hallo
>
> zu a.)
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> Also da die Matrizen ähnlich sind müsste B ja
> folgendermaßen darstellbar sein
> [mm]B=S^{-1}AS.[/mm] Leider weiß ich aber nicht wie man allgemein
> nilpotente Matrizen aufstellen kann und somit komme ich bei
> dieser Aufgabe nicht weiter.
>
> zu b.) Da wäre auch ein kleiner Tipp ganz gut
>
> Liebe Grüße
>
> Sven
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 Di 08.07.2008 | | Autor: | svenpile |
also ich muss ja 2 Richtungen zeigen.
Die Hinrichtung :
Dort ist ja vorrausgesetzt, dass die Matriten zueinander konjugiert sind.Das wiederum heißt aber doch , dass die Matrizen dieselbe Jordannormalform bis auf vertauschung der Jordanblöcke haben.
Und daher folgt doch direkt, dass das Minimalpolynom und der Rang gleich ist, denn die Jordanblöcke geben schließlich Auskunft über das Minimalpolynom8das lässt sich darüber ja herleiten)
Und wenn die Anzahl der Blöcke gleich ist (bis auf Vertauschung übereinstimm9 ist auch der Rang gleich.
Bei der Rückrichtung habe ich mir folgendes überlegt :
Minimalpolynom und rang sind ja bei beiden Matrizen gleich. Dann könnte ich diese ja auf Normalform mit Nulldiagonale bringen. Und da das Minimalpolynom gleich ist müsste die Anzahlder Jordanblöcke auch gleich sein. Aber wie zeige ich das die Matrizen dann ähnlich sind?
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> Bei der Rückrichtung habe ich mir folgendes überlegt :
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> Minimalpolynom und rang sind ja bei beiden Matrizen gleich.
> Dann könnte ich diese ja auf Normalform mit Nulldiagonale
> bringen. Und da das Minimalpolynom gleich ist müsste die
> Anzahlder Jordanblöcke auch gleich sein.
Hallo,
nein, das Minimalpolynom sagt, wie groß das größte Blöckchen ist,
und der Rang, wieviele Blöckchen es gibt.
> Aber wie zeige ich
> das die Matrizen dann ähnlich sind?
Mühselig ernähert sich das Eichhörnchen:
ich würde jetzt alle möglichen Fälle untersuchen.Vielleicht fiele geschickteren Menschen Geschickteres ein - aber man kommt so zum Ziel, und die Anstrengung hält sich in Grenzen.
Du sollst ja nur nxn-Matrizen bis n=6 untersuchen.
Z.B.
n=6
grad [mm] p_A=2, [/mm] rangA=3
Welches müssen in diesem Fall die Blöckchen sein?
Und dasselbe Spiel mit allen Möglichkeiten.
Gruß v Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 Mi 09.07.2008 | | Autor: | svenpile |
Erstmal vielen Dank, es tut mir leid aber leider kapiere ich das immer noch nicht so richtig. Also wenn ich jetzt wie du alle Matrizen aufstelle für den Fall n=6 das sind elf in mienem Fall. Dann reicht es ja quasi zu zeigen, dass die elf verschiedenen Matrizen jeweils eine unterschiedliche Jordan Normalform besitzen und somit nicht zueinander konjugiert sind.
Also schreibe ich nur die elf Matrizen hin und das wars dann ja eigentlich, da man die unterschiedliche JNF erkennt.
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Hallo,
wir wollen ja jetzt zeigen, daß wir, wenn wir zwei nilpotente nxn-Matrizen gegeben haben, die dasselbe Minimalpolynom und denselben Rang haben, zwei ähnliche Matrizen in der Hand halten.
Dazu möchte ich zeigen, daß die beiden Matrizen gar nicht anders können, als dieselbe JNF zu haben. (Daraus folgt ja die Ähnlichkeit)
Das tue ich, indem ich zeige, daß sich bei vorgegebenem Minimalpolynom und Rang nur eine einzige JNF ergeben kann, die beiden JNF also gleich und somit die Matrizen ähnlich sein müssen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:14 Mi 09.07.2008 | | Autor: | svenpile |
Nur noch zu deinem Beispiel grad [mm] p_A=2 [/mm] und rang A =3 diese Matirx müsste doch so ausschauen:
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
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> Nur noch zu deinem Beispiel grad [mm]p_A=2[/mm] und rang A =3 diese
> Matirx müsste doch so ausschauen:
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> [mm]\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 &0 & 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
Hallo,
ja, genau. Eine andere Möglichkeit gibt's bei dieser Vorgabe von Rang und grad nicht, und das ist entscheidend.
Gruß v. Angela
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