Zufä. Zeitpunkte m. Ratefkt < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:56 Sa 12.01.2013 | | Autor: | EGF |
| Aufgabe | Aufgabe 4: Während eines einstündigen Gewitters schlägt zu zufälligen Zeitpunkten ein Blitz ein. Wir modellieren dies als PP auf [0; 1] mit Ratenfunktion (t) = 60t(1 - t).
(a) Unter welchen Umständen ist eine solche Ratenfunktion angemessen?
(b) Was ist die Verteilung für die Gesamtzahl der Einschläge?
(c) Bestimmen Sie P(T1 <=t/N[0;1] >=1) und bestimmen Sie hieraus die Verteilung der Wartezeit auf den ersten Blitzeinschlag (falls es überhaupt einen solchen gibt). |
Hallo, oben stehende Aufgabe soll ich als Hausaufgabe lösen. Nur leider kann ich absolut nichts damit anfangen. Von daher bin ich über jeden Tipp/Lösungshinweis/Lösung etc. dankbar!
lg EGF
Wie immer steht die Frage natürlich nur hier :D
|
|
| |
|
> Aufgabe 4: Während eines einstündigen Gewitters schlägt
> zu zufälligen Zeitpunkten ein Blitz ein. Wir modellieren
> dies als PP auf [0; 1] mit Ratenfunktion (t) = 60t(1 -
> t).
> (a) Unter welchen Umständen ist eine solche Ratenfunktion
> angemessen?
> (b) Was ist die Verteilung für die Gesamtzahl der
> Einschläge?
> (c) Bestimmen Sie P(T1 <=t/N[0;1] >=1) und bestimmen Sie
> hieraus die Verteilung der Wartezeit auf den ersten
> Blitzeinschlag (falls es überhaupt einen solchen gibt).
Was genau ist hier mit "Ratenfunktion" ("Ratefunktion" ?)
gemeint ?
Nach eingehender Suche im Netz habe ich zwar eine ganze
Reihe von (pdf-) Dokumenten gefunden, in welchen der
Begriff "Ratenfunktion" auftritt - nur wird er in diesen
ganzen Papers (allesamt aus gewissen marktorientierten
Studien, es kommen da etwa Schlüsselworte wie
"Qualitätsmanagement" vor) nicht an einer einzigen Stelle
definiert und erläutert. Man findet nur gewisse Formeln,
aber eben leider null Erklärung. Wenn das zur Arbeitsweise
gewisser Leute gehört, die über "Qualitätsmanagement"
referieren ...
LG, Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 So 13.01.2013 | | Autor: | EGF |
Hallo,
ja das ist eben auch mein Problem. Ich war in der Vorlesung krank und im Skript finde ich dazu ebenfalls keine Definition. Ich nehme mal an, dass der Begriff an sich auch nicht so essenziell ist, sondern eher die Funktion die angegeben ist. Ich habe mir das so vorgestellt, dass die Funktion eben genau die Treffer beschreibt, aber ich weiß nicht, wie ich mit ihr umgehen soll..
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> ja das ist eben auch mein Problem. Ich war in der Vorlesung
> krank und im Skript finde ich dazu ebenfalls keine
> Definition. Ich nehme mal an, dass der Begriff an sich
> auch nicht so essenziell ist, sondern eher die Funktion die
> angegeben ist. Ich habe mir das so vorgestellt, dass die
> Funktion eben genau die Treffer beschreibt, aber ich weiß
> nicht, wie ich mit ihr umgehen soll..
Na Moment mal. In mathematischen Zusammenhängen
muss immer klar definiert werden, was die Begriffe
genau bedeuten sollen. Dies erwarte ich auch von
jedem, der Vorlesungen hält und Skripte herausgibt.
Im gegenteiligen Fall vermute ich Inkompetenz !
Es darf ja nicht sein, dass man euch da beibringen
will, einfach mit irgendwelchen unverstandenen Formeln
rumzujonglieren ohne jegliche Ahnung, was damit
genau gemeint sein soll.
Falls eine entsprechende Definition überhaupt nicht
vorgekommen sein sollte, hast du das Recht, dich gegen
derartige Zumutungen zu wehren !
Jetzt haben wir noch die Chance, dass doch noch jemand
hier im Matheraum auf diese Frage stößt, der weiß, um
was es sich handelt.
Was die Abkürzung "PP" in der Aufgabe bedeuten soll,
ist mir klar geworden: es soll sich um einen Poisson-
Prozess handeln.
LG, Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:39 So 13.01.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Ihr beiden,
der englischsprachigen Literatur zu Poisson-Prozessen entnehme ich, dass die Funktion, mit der die Intensität des Prozesses sich zeitabhängig ändert, als "rate function" bezeichnet wird.
Dies macht nur in inhomogenen Poisson-Prozessen Sinn.
![[]](/images/popup.gif) Hier ein Wikipedia-Beleg.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
> Hallo Ihr beiden,
>
> der englischsprachigen Literatur zu Poisson-Prozessen
> entnehme ich, dass die Funktion, mit der die Intensität
> des Prozesses sich zeitabhängig ändert, als "rate
> function" bezeichnet wird.
> Dies macht nur in inhomogenen Poisson-Prozessen Sinn.
>
> Hier
> ein Wikipedia-Beleg.
>
> Grüße
> reverend
Danke, reverend, dass Du uns zu Hilfe kommst !
(und erst noch am Sonntag ...  )
Jetzt beginne ich es so langsam zu verstehen. Das
Gewitter dauert von t=0 bis t=1 (in Stunden).
Die Blitzintensität fängt bei t=0 an mit [mm] \lambda(0)=0 [/mm] , steigt
(parabelförmig) an bis [mm] \lambda(0.5)=15 [/mm] und sinkt dann
wieder auf [mm] \lambda(1)=0 [/mm] . Wäre also die Blitzintensität
über die ganze Stunde weg so hoch wie im Maximum,
also [mm] \lambda=15 [/mm] , so wären insgesamt etwa 15 Blitze
zu erwarten.
Mit der Ratenfunktion gerechnet ist z.B. die im
Zeitintervall 0.2 < t [mm] \le [/mm] 0.4 zu erwartende Anzahl
Blitze gleich
$\ [mm] N_{\lambda}(0.2,0.4)\ [/mm] =\ [mm] \integral_{0.2}^{0.4}\ 60*t*(1-t)\,dt\ [/mm] =\ 2.48$
Über die ganze Stunde hinweg käme man auf zu
erwartende 10 Blitze (von dieser Annahme ausgehend
wurde die Ratenfunktion wohl auch gebastelt).
Jetzt kann man an die Einzelheiten der Aufgabe gehen.
LG , Al 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:16 So 13.01.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Al,
jetzt beginne ich auch so langsam, die Aufgabe zu verstehen.
(Nein, kein Smilie)
> Danke, reverend, dass Du uns zu Hilfe kommst !
> (und erst noch am Sonntag ... )
Oh, dieser Sonntag ist in verschiedener Hinsicht besonders...
Aber wie sonst auch meistens am Sonntag habe ich ab etwa mittags ja auch Freizeit. (Der tägliche Hofgang und so )
> Jetzt beginne ich es so langsam zu verstehen. Das
> Gewitter dauert von t=0 bis t=1 (in Stunden).
> Die Blitzintensität fängt bei t=0 an mit [mm]\lambda(0)=0[/mm] ,
> steigt
> (parabelförmig) an bis [mm]\lambda(0.5)=15[/mm] und sinkt dann
> wieder auf [mm]\lambda(1)=0[/mm] . Wäre also die
> Blitzintensität
> über die ganze Stunde weg so hoch wie im Maximum,
> also [mm]\lambda=15[/mm] , so wären insgesamt etwa 15 Blitze
> zu erwarten.
> Mit der Ratenfunktion gerechnet ist z.B. die im
> Zeitintervall 0.2 < t [mm]\le[/mm] 0.4 zu erwartende Anzahl
> Blitze gleich
>
> [mm]\ N_{\lambda}(0.2,0.4)\ =\ \integral_{0.2}^{0.4}\ 60*t*(1-t)\,dt\ =\ 2.48[/mm]
>
> Über die ganze Stunde hinweg käme man auf zu
> erwartende 10 Blitze (von dieser Annahme ausgehend
> wurde die Ratenfunktion wohl auch gebastelt).
Bis hierher kann ich Dir ganz folgen.
> Jetzt kann man an die Einzelheiten der Aufgabe gehen.
Ich tue das lieber nicht, dieses Fachgebiet liegt für mich unter einer stabilen Eisdecke, auf der ich dann meistens ausrutsche.
Herzliche Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:48 So 13.01.2013 | | Autor: | EGF |
Danke erstmal für eure Mühe :D
Also was da steht verstehe ich bzw. kann dem folgen... aber wie soll es weiter gehen oder wie soll ich es besser gesagt anwenden auf meine Aufgabe?
|
|
|
| |
|
> Danke erstmal für eure Mühe :D
>
> Also was da steht verstehe ich bzw. kann dem folgen... aber
> wie soll es weiter gehen oder wie soll ich es besser gesagt
> anwenden auf meine Aufgabe?
Hallo EGF,
zur Lösung der Aufgabe (b) findest du eine geeignete Formel
in dem Wiki-Abschnitt, auf den reverend hingewiesen hat.
(c) habe ich schon mal angeschaut, konnte aber für
die Verteilung nur eine numerische Rechnung anstellen,
von der ich auch noch nicht weiß, ob sie wirklich
stimmt.
Noch eine Bitte: deklariere bitte die Fragen als solche
und nicht als "Mitteilungen" !
LG, Al-Chw.
|
|
|
| |
|
> Während eines einstündigen Gewitters schlägt
> zu zufälligen Zeitpunkten ein Blitz ein. Wir modellieren
> dies als Poisson-Prozess auf [0; 1] mit Ratenfunktion [mm] \lambda (t) [/mm] = 60t(1 - t).
> (a) Unter welchen Umständen ist eine solche Ratenfunktion angemessen?
> (b) Was ist die Verteilung für die Gesamtzahl der Einschläge?
> (c) Bestimmen Sie P(T1 <=t ) und bestimmen Sie hieraus die
> Verteilung der Wartezeit auf den ersten Blitzeinschlag
> (falls es überhaupt einen solchen gibt).
Für die Lösung der Aufgabe (c) bin ich nach längerer Suche
schließlich bei den Bauingenieuren (!!) fündig geworden:
siehe Seite 10 !
LG
Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:29 So 13.01.2013 | | Autor: | EGF |
Super, Danke schön!
Ich schau gleich mal nach und danke für den Hinweis mit der Frage/Mitteilung, ich achte nächstes Mal besser drauf ;D
lg
|
|
|
| |
|
> Super, Danke schön!
Ja, gern geschehen.
Es stünde natürlich noch an, sich diese Formel für die
Verteilung der Wartezeit noch "richtig" anzueignen
durch selbständiges Nachvollziehen der dahin führenden
Überlegungen.
Zur Kontrolle noch zwei kleine Rechenbeispiele:
ich habe beispielsweise berechnet:
$\ [mm] P(T_1 [/mm] > 0.2)\ [mm] \approx\ [/mm] 0.3535$
$\ [mm] P(T_1 [/mm] > 1)\ [mm] \approx\ [/mm] 0.000045$
(letzteres wäre die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es
während des ganzen einstündigen Gewitters keinen
einzigen Blitz gibt !)
Kommst du zu denselben Ergebnissen ?
Schönen Abend noch !
Al-Chw.
|
|
|
|
