Zufallsexperiment Regentropfen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:40 Do 15.04.2010 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Abzählbar unendlich viele (punktförmige) Regentropfen fallen der Reihe nach zufällig auf die Einheitskreisscheibe [mm] K_1:=\{x\in \IR^2|\text{ }\|x\|_2\le 1\}.
[/mm]
Dabei soll für jeden Regentropfen und jede (messbare) Teilmenge B von [mm] K_1 [/mm] gelten, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Regentropfen die Menge B trifft, gleich dem Flächeninhalt von B geteilt durch den Flächeninhalt von [mm] K_1 [/mm] ist. Wir sagen, dass der n-te Regentropfen sein Ziel erreicht, wenn er die Menge [mm] K_n:=\{x\in \IR^2|\text{ } \|x\|_2\le \bruch{1}{n}\} [/mm] trifft, und nennen dieses Ereignis [mm] A_n.
[/mm]
b) Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass außer dem ersten Regentropfen noch ein weiterer Regentropfen sein Ziel erreicht, echt kleiner als 1 ist. (Hinweis: Wir nehmen hier keinerlei stochastische Unabhängigkeit an.) |
Hallo Leute,
ich gehe bei obiger Aufgabe mal davon aus, dass es sich um bedingte Wahrscheinlichkeiten handelt, also sprich ich berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Regentropfen sein Ziel erreicht unter der Voraussetzung, dass der erste Regentropfen sein Ziel erreicht. Da kein konkreter Regentropfen angegeben wurde, muss ich alle Möglichkeiten betrachten.
Es geht also um die Wahrscheinlichkeit [mm] P[\bigcup_{n>1} (A_n|A_1)].
[/mm]
Bin ich auf dem richtigen Weg?
Falls ja, wie kann ich hier nun prüfen, ob die Ereignisse [mm] (A_n|A_1) [/mm] für alle n>1 paarweise disjunkt sind?
Und gibt es eine Möglichkeit [mm] P[A_n|A_1] [/mm] zu bestimmen? Es ist ja hier [mm] P[A_n|A_1]=P[A_n\cap A_1], [/mm] aber das hilft nich viel oder?
Vielen Dank schon mal für die Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:41 Do 15.04.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin,
mal ganz dumm gefragt: Wie koennte die stochastische
Abhaengigkeit bei fallenden Regentropfen aussehen?
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:48 Do 15.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
sollen die nun unabhängig oder nicht unabh. sein in deinem post steht nicht unabhängig!
Wenn du im Wald stehst, und der Blätterwald über dir nur ein kleines Loch hat! Wenn du unter nem Schirm mit genau 3 Tropfengrosen Löchern stehst usw. dann sind die orte nicht mehr unabh.
Ach wenn die Wolke über dir an einer Stelle stärker "tropft", oder pasende Windwirbel.
alles antworten auf deine Frage.
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:56 Do 15.04.2010 | | Autor: | kegel53 |
Um ehrlich zu sein, weiß ich überhaupt nicht was ich mit der stochastischen Unabhängigkeit bzw. Abhängigkeit hier anfangen kann. In der Vorlesung wurde dazu noch nichts gesagt. Inwiefern muss ich das bei der Aufgabe verwenden?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:06 Do 15.04.2010 | | Autor: | kegel53 |
Niemand an schnellen Tipp parat wie ich das machen könnt? Danke mal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:01 Do 15.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> Abzählbar unendlich viele (punktförmige) Regentropfen
> fallen der Reihe nach zufällig auf die
> Einheitskreisscheibe [mm]K_1:=\{x\in \IR^2|\text{ }\|x\|_2\le 1\}.[/mm]
>
> Dabei soll für jeden Regentropfen und jede (messbare)
> Teilmenge B von [mm]K_1[/mm] gelten, dass die Wahrscheinlichkeit
> dafür, dass der Regentropfen die Menge B trifft, gleich
> dem Flächeninhalt von B geteilt durch den Flächeninhalt
> von [mm]K_1[/mm] ist. Wir sagen, dass der n-te Regentropfen sein
> Ziel erreicht, wenn er die Menge [mm]K_n:=\{x\in \IR^2|\text{ } \|x\|_2\le \bruch{1}{n}\}[/mm]
> trifft, und nennen dieses Ereignis [mm]A_n.[/mm]
>
> b) Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
> außer dem ersten Regentropfen noch ein weiterer
> Regentropfen sein Ziel erreicht, echt kleiner als 1 ist.
> (Hinweis: Wir nehmen hier keinerlei stochastische
> Unabhängigkeit an.)
> Hallo Leute,
>
> ich gehe bei obiger Aufgabe mal davon aus, dass es sich um
> bedingte Wahrscheinlichkeiten handelt, also sprich ich
> berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein
> Regentropfen sein Ziel erreicht unter der Voraussetzung,
> dass der erste Regentropfen sein Ziel erreicht. Da kein
> konkreter Regentropfen angegeben wurde, muss ich alle
> Möglichkeiten betrachten.
> Es geht also um die Wahrscheinlichkeit [mm]P[\bigcup_{n>1} (A_n|A_1)].[/mm]
Der erste Regentropfen erreicht sein Ziel aber immer! Dh du kannst [m]P[\bigcup_{n>1} (A_n)\le \sum_n P[A_n][/m] betrachten, vielleicht ist die rehcte Seite ja kleiner 1 ...
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:01 Do 15.04.2010 | | Autor: | kegel53 |
Danke für die Antwort, aber [mm] \sum_n P[A_n] [/mm] wäre hier ja [mm] \bruch{\pi^2}{6}, [/mm] was sicherlich größer als 1 ist und somit kann das ganze nich so recht stimmem oder?
Wie könnt ich hier aber anders rangehn?? Danke schon mal.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:45 Do 15.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> Danke für die Antwort, aber [mm]\sum_n P[A_n][/mm] wäre hier ja
> [mm]\bruch{\pi^2}{6},[/mm] was sicherlich größer als 1 ist und
> somit kann das ganze nich so recht stimmem oder?
Und wie kommst du darauf? (n > 1 ...)
> Wie könnt ich hier aber anders rangehn?? Danke schon mal.
Die Wahrheit ist auch - es gibt keinen anderen Ansatz, denn du weißt ja fast nichts.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:02 Fr 16.04.2010 | | Autor: | kegel53 |
Naja ich weiß ja aus der Aufgabenstellung, dass die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis [mm] A_n [/mm] gerade der Flächeninhalt von [mm] K_n [/mm] geteilt durch den Flächeninhalt von [mm] K_1 [/mm] ist, d.h. [mm] P[A_n]=\bruch{\text{Fläche } K_n}{\text{Fläche }K_1}=\bruch{\bruch{1}{n^2}*\pi}{\pi}=\bruch{1}{n^2} [/mm] für alle [mm] n\ge [/mm] 1.
Damit ist dann [mm] \sum_{n\ge 1} P[A_n]=\bruch{\pi^2}{6}.
[/mm]
Da ich aber zeigen soll, dass die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses aus b) echt kleiner als 1 sein soll, kann dein Vorschlag irgendwie nicht der richtige Weg sein.
Irgendeine Idee wo der Denkfehler sein könnte bzw. wie man an die Aufgabe sonst rangehen könnte?
Ich weiß mir im Moment sonst keinen Rat mehr.
Besten Dank schon mal.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:40 Fr 16.04.2010 | | Autor: | kegel53 |
Mit [mm] P[\bigcup_{n>1} (A_n)]\le \sum_{n>1} P[A_n] [/mm] und [mm] \sum_{n\ge 1} P[A_n]=\bruch{\pi^2}{6} [/mm] kann ich bisher ja nur sagen, dass [mm] P[\bigcup_{n>1} (A_n)]<\bruch{\pi^2}{6}.
[/mm]
Da muss es doch aber noch einen Weg geben, um auf das gewünschte <1 zu kommen. Hat niemand ne geschickte Idee, wie das gehen könnte?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:53 Fr 16.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> Damit ist dann [mm]\sum_{n\ge 1} P[A_n]=\bruch{\pi^2}{6}.[/mm]
Wie ich schon schrieb(!) n>1: [mm]\sum_{n> 1} P[A_n]<1.[/mm]
> Da ich aber zeigen soll, dass die Wahrscheinlichkeit des
> Ereignisses aus b) echt kleiner als 1 sein soll, kann dein
> Vorschlag irgendwie nicht der richtige Weg sein.
Sicher?
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:16 Fr 16.04.2010 | | Autor: | kegel53 |
Achja natürlich :). Das n>1 hab ich bei deiner ersten Antwort total übersehn.
D.h. für die Wahrscheinlichkeit aus b) gilt dann [mm] P[\bigcup_{n>1} (A_n|A_1)]=P[\bigcup_{n>1} (A_n)]\le \sum_{n>1} P[A_n]=\bruch{\pi^2}{6}-1<1,
[/mm]
wobei das erste Gleichheitszeichen gültig ist, weil das Ereignis [mm] A_1 [/mm] mit Wahrscheinlichkeit 1 eintritt.
Ist das dann so in Ordnung oder sollte ich noch was ändern bzw. hinzufügen? Danke schon mal.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:20 Fr 16.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> Ist das dann so in Ordnung oder sollte ich noch was ändern
> bzw. hinzufügen? Danke schon mal.
Passt so alles imo. Ich stell die andere Frage dann auch mal auf beantwortet.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:25 Fr 16.04.2010 | | Autor: | kegel53 |
Alles klar! Dank dir nochmal.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:28 Sa 17.04.2010 | | Autor: | kegel53 |
Sorry ich muss jetzt doch nochmal nachfragen, warum hier [mm] P[A_n|A_1]=P[A_n] [/mm] gilt.
Ich war ja der Meinung, dass die Gleichheit hier gilt, weil [mm] A_1 [/mm] mit Wahrscheinlichkeit 1 eintritt. Das scheint ja auch zu stimmen, aber gibt es dazu auch einen etwas formaleren Beweis? Wenn ja komm ich allein nicht drauf. Wär klasse, wenn da jemand helfen könnt.
Vielen Dank schon mal.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:37 Sa 17.04.2010 | | Autor: | kegel53 |
Also ich hoffe es ist klar wonach ich frage!
Hat da neimand an Tipp wie man das schnell beweisen kann. Ein esrter Ansatz wär auch super. Danke mal.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:41 Sa 17.04.2010 | | Autor: | kegel53 |
Ich eröffne hierzu eine neue Frage!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:18 So 18.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> Sorry ich muss jetzt doch nochmal nachfragen, warum hier
> [mm]P[A_n|A_1]=P[A_n][/mm] gilt.
>
> Ich war ja der Meinung, dass die Gleichheit hier gilt, weil
> [mm]A_1[/mm] mit Wahrscheinlichkeit 1 eintritt. Das scheint ja auch
> zu stimmen, aber gibt es dazu auch einen etwas formaleren
> Beweis?
Definitionen der bed. W'keit mal einsetzen ... ach ja, und natürlich: [m]P(M)= P(M\cap A_1)+P(M\setminus A_1)[/m], und [m]M\setminus A_1[/m] ist in einer Nullemgen enthalten ... wenn man nicht eh benutzen möchte, dass jedes Ereignis in [m]A_1[/m] ist.
SEcki
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:11 Fr 16.04.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin, vielleicht geht's ueber
[mm] $P(\bigcup A_i)=1-P(\bigcap\overline{A}_i)$ [/mm] ...
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:58 Fr 16.04.2010 | | Autor: | kegel53 |
Das hab ich mir auch schon überlegt, allerdings bin ich da nicht weitergekommen.
Wie kann ich mir denn das Gegeneregnis [mm] \overline{A_i} [/mm] vorstellen??
Und selbst, wenn ich das dann weiß, wie mach ich dann weiter ohne stochastische Unabhängigkeit zu verlangen??
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