Zufallsgrößen < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:35 Mo 27.08.2007 | | Autor: | Miranda |
| Aufgabe | Gegeben ist ein Gefäß: In diesem befinden sich 30 Kugeln (diese sind vom 1 bis 30 numeriert). Es wird jeweils eine Kugel zufällig gezogen.
Bestimme die Verteilung der Zufallsgröße:
a.)X: Anzahl d. Teiler
b.)X: Anzahl d. Primteiler
(Gegebenes Beispiel: Die Zahl 1 hat die Teiler 1,2,3,4,6,12; davon sind 2 und 3 Primzahlen (Primteiler von 1) |
Hallöchen!
Haben heute mit diesem neues Thema begonnen und stehe leider total auf der Leitung, da ich nicht verstehe, was genau vom mir verlangt wird..Könnt ihr mir vllt. nen Tipp geben wie ich da rangehe und das Lösen kann?
Danke...
|
|
| |
|
Hi, Miranda,
> Gegeben ist ein Gefäß: In diesem befinden sich 30 Kugeln
> (diese sind vom 1 bis 30 numeriert). Es wird jeweils eine
> Kugel zufällig gezogen.
> Bestimme die Verteilung der Zufallsgröße:
> a.)X: Anzahl d. Teiler
> b.)X: Anzahl d. Primteiler
>
> (Gegebenes Beispiel: Die Zahl 1 hat die Teiler
> 1,2,3,4,6,12; davon sind 2 und 3 Primzahlen (Primteiler von
> 1)
> Hallöchen!
> Haben heute mit diesem neues Thema begonnen und stehe
> leider total auf der Leitung, da ich nicht verstehe, was
> genau vom mir verlangt wird..Könnt ihr mir vllt. nen Tipp
> geben wie ich da rangehe und das Lösen kann?
(1) Das gegebene Beispiel ist falsch: Gemeint ist die Zahl 12, nicht die 1.
(2) Es wird Dir nichts anderes übrig bleiben als die Teiler der 30 Zahlen hinzuschreiben und zu zählen.
Ich fang mal an; fertig machst Du's dann selbst:
a) Die Zahl 1 hat als Teiler nur sich selbst: X = 1.
Es ist aber die einzige Zahl unter 30 gleichwahrscheinlichen, für die das gilt; daher: P(X=1) = [mm] \bruch{1}{30}
[/mm]
Die Zahl 2 und ebenso alle Primzahlen, also 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,
haben als Teiler die 1 und "sich selbst", also jeweils zwei Teiler: X = 2.
Da also genau zehn Zahlen (von Deinen 30 gegebenen) zwei Teiler haben, ist
P(X=2) = [mm] \bruch{2}{30}
[/mm]
Die Zahl 4 hat die Teiler 1, 2 und 4; das sind drei Stück: X = 3.
Die Zahl 6 hat die Teiler 1, 2, 3, 6; das sind vier Stück: X = 4.
usw.
Wenn Du die Zufallsgröße X "beisammen" hast, kannst Du nach obigem Muster jeweils die zugehörige Wahrscheinlichkeit ausrechnen und hast damit die verlangte Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße in Aufgabe a).
Bei b) suchst Du unter den Teilern, die Du bei a) gefunden hast, die Primzahlen raus und zählst sie. Ansonsten gehst Du so vor wie bei Aufgabe a)
Beispiel: Da 1 keine Primzahl ist, hat die Kugel mit der 1 keinen Primteiler: X=0.
Und da die 1 die einzige Zahl mit dieser Eigenschaft ist, gilt: P(X=0) = [mm] \bruch{1}{30}.
[/mm]
Die Primzahlen (2;3;5;7;11;13;17;19;23;29) haben als Primteiler jeweils genau einen, nämlich sich selbst; aber auch die Quadratzahlen (4;9;16;25) haben jeweils nur einen Primteiler; das gilt natürlich auch für die Kubikzahlen (8 und 27) sowie die Zahl 16 = [mm] 2^{4}. [/mm] Demnach haben 17 Zahlen genau 1 Primteiler und es ist: [mm] P(X=1)=\bruch{17}{30}
[/mm]
usw.
mfG!
Zwerglein
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:05 Mo 27.08.2007 | | Autor: | Miranda |
Vielen, lieben Dank für deine Antwort!
Also ich habe nun eine Tabelle für a erstellt mit 4 Spalten:
1.Augensumme , 2.zugehöriges Ergebnis, 3.P(X=k) und4.P(X<k)
...
z.b. für 12 wäre das dann:
12 , 1;2;3;4;6;12 , 6/30 ...
nun soll ich ja die Wahrscheinlichkeit ausrechnen...
bei mir sind das shon 35/30 ..was ja nicht möglich ist..
Wie genau komme ich da nun drauf?... ich bin mit dieser X Definition immernoch irgendwie unsicher,..
Danke für deine/eure Mühen!
|
|
|
| |
|
Hi, Miranda,
> Vielen, lieben Dank für deine Antwort!
> Also ich habe nun eine Tabelle für a erstellt mit 4
> Spalten:
> 1.Augensumme ,
Meinst Du nicht "Teiler"?
Oder ist das eine neue Aufgabe?
2.zugehöriges Ergebnis, 3. P(X=k)
> und 4.P(X<k)
> ...
>
> z.b. für 12 wäre das dann:
>
> 12 , 1;2;3;4;6;12 , 6/30 ...
Die 6/30 sind zu früh! Du weißt erst mal nur, dass für die Zahl 12 der Zufallswert X=6 ist (weil sie 6 Teiler hat).
> nun soll ich ja die Wahrscheinlichkeit ausrechnen...
> bei mir sind das shon 35/30 ..was ja nicht möglich ist..
Also das geht so:
Du musst z.B. alle Zahlen, die (wie die 12 oben) genau 6 Teiler haben, unter dem Zufallswert X=6 zusammenfassen; ihre Anzahl geteilt durch 30 ist dann die zugehörige Wahrscheinlichkeit.
Nochmal zum Vergleich meine Beispiele:
Es gibt nur [mm] \red{EINE} [/mm] Zahl, die genau einen Teiler hat (nämlich die 1 selbst); daher ist P(X=1) = [mm] \bruch{\red{1}}{30}
[/mm]
Aber es gibt insgesamt [mm] \red{10} [/mm] Zahlen (2;3;5;7;11;13;17;19;23;29), die 2 Teiler aufweisen; daher ist P(X=2) = [mm] \bruch{\red{10}}{30}
[/mm]
Folgende Zahlen weisen jeweils 3 Teiler auf:
4 (1;2;4), 9 (1;3;9), 25 (1;5;25). Das sind (zufälligerweise! und wenn ich mich nicht vertan habe  ) genau [mm] \red{3} [/mm] Stück (4, 9 und 25) und somit ist P(X=3) = [mm] \bruch{\red{3}}{30}
[/mm]
Und nun schau mal, ob Du's selbst fertig kriegst:
Wie viele Zahlen gibt's mit 4 Teilern? (X=4),
wie viele mit 5 Teilern? (X=5),
wie viele mit 6 Teilern? (X=6),
wie viele mit 7 Teilern? (X=7),
und wie viele mit 8 Teilern?
(Wenn ich mich nicht vertan habe, ist X>8 nicht möglich!)
Ach ja: Und wozu brauchst Du noch P(X < k)??
Die Verteilungsfunktion war doch gar nicht gefragt!?
mfG!
Zwerglein
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:16 Mo 27.08.2007 | | Autor: | Miranda |
Ok, vielen Dank...wieder was verstanden^^...
also für
P(X=4)= 8/30
P(X=5)= 2/30
P(X=6)= 4/30
P(X=7)= 0/30
und bei
P(X=8)= 2/30 (bei 24 und 30)
wenn man alles zusammenzählt bekommt man genau 30/30 das ist doch ein gutes Zeichen?
...
Ist damit dieser Teil fertig?
muss ihch noch Prozente errechnen oder kann/muss ich mit den Primteilern weitermachen?^^
Wirklich, vielen herzlichen Dank
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:28 Mo 27.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Miranda!
Wenn in der Summe [mm] $\bruch{30}{30} [/mm] \ = \ 1$ herauskommt, ist das ein sehr gutes Zeichen.
Ob man hier Brüche oder Prozentzahlen angibt, ist Geschmackssache. Wenn Du es besonders gut machen willst, schreibe einfach beide Varianten hin.
Und genauso geht es nun mit den Primteilern weiter ...
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:49 Mo 27.08.2007 | | Autor: | Miranda |
ok...
hab nun für
P(X=2)= 13/30...
da ergibt sich das problem, dass ich nun auf 31/30 komme..
also 2 Primzahlen haben: (6,10,12,14,15,18,20,21,22,24,26,28,30)
Wo liegt bloss mein Fehler?....
Ist danach die Aufgabe schon gelöst? ....
|
|
|
| |
|
Hi, Miranda,
> ok...
>
> hab nun für
> P(X=2)= 13/30...
> da ergibt sich das problem, dass ich nun auf 31/30
> komme..
> also 2 Primzahlen haben:
> (6,10,12,14,15,18,20,21,22,24,26,28,30)
>
> Wo liegt bloss mein Fehler?....
Das kann man aus Deiner Angabe nicht erkennen!
Vermutlich hast Du irgendeine der Zahlen doppelt drin!
> Ist danach die Aufgabe schon gelöst? ....
Wenn Du zu jedem möglichen Zufallswert x die zugehörige Wahrscheinlichkeit ermittelt hast, ist die Aufgabe gelöst!
(Üblicherweise schreibt man das Ganze noch schön geordnet in eine Wertetabelle: 1.Zeile x-Werte; 2.Zeile die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten P(X=x).)
mfG!
Zwerglein
|
|
|
|
