Zufallsgrößen Einsatz < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:32 Do 12.11.2009 | | Autor: | Janina09 |
| Aufgabe | Berechnen sie den Erwartungswert der Zufallsgröße X, die die Anzahl der Sechsen pro Spiel angibt! Es wir mit 3 Würfeln gewürfelt!
1 mal 6= 3€
2 mal 6= 15 €
3 mal 6= 50€
b.) Bei welchem Einsatz ist das Spiel fair?
c.) Welcher Einsatz muss wenigstens verlangt werden, damit mindestens 25% dem Betreiber als Gewinn bleiben? |
also bei der a hab ich E(X)= 1/2
bei der b
75/216 x 3 + 15/216 x 15 + 1/216 x 50 = 2,31
die c versteh ich nicht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:48 Do 12.11.2009 | | Autor: | barsch |
Hallo Janina,
es ist immer hilfreich, wenn du Lösungswege angibst - wie du es bei Aufgabenteil b) gemacht hast. Bei Aufgabenteil a) scheinst du dich irgendwo vertan zu haben, ich kann dir aber - aufgrund des fehlenden Rechenweges - nicht sagen, wo dein Fehler liegt.
Der Erwartungswert einer Zufallsvariable X ist doch:
[mm] E(X)=0*P(X=0)+3\cdot{P(X=1)}+15*P(X=2)+50*P(X=3)=3\cdot{P(X=1)}+15*P(X=2)+50*P(X=3)
[/mm]
P(X=1) bezeichnet die Wkt., eine 6 zu würfeln.
Also ist [mm] P(X=1)=\bruch{1}{6}*\bruch{5}{6}*\bruch{5}{6}+\bruch{5}{6}*\bruch{1}{6}*\bruch{5}{6}+\bruch{5}{6}*\bruch{5}{6}*\bruch{1}{6}=\bruch{1}{6}*\bruch{5}{6}*\bruch{5}{6}*3=\bruch{25}{216}
[/mm]
Wenn du dasselbe für P(X=2) und P(X=3) berechnest, und dann E(X) berechnest, erhälst du [mm] E(X)\not=\bruch{1}{2}.
[/mm]
> bei der b
> 75/216 x 3 + 15/216 x 15 + 1/216 x 50 = 2,31
Hier hast du den Erwartungswert E(X) berechnet!!! Genau das hättest du in a) machen müssen.
Ein Spiel ist fair, wenn E(X)=0.
Die erwarteten Gewinne müssen also durch den erwarteten Verlust ausgeglichen werden. Und eben der Verlustfall tritt ein, wenn der Spieler keine 6 würfelt. Das bedeutet, es ist ein Einsatz x gesucht, sodass
[mm] E(X)=x*P(X=0)+3\cdot{P(X=1)}+15*P(X=2)+50*P(X=3)=0
[/mm]
In der a) sind wir ja noch davon ausgegangen, dass es keinen Einsatz gibt, deswegen wurde bei der Berechnung des Erwartungswertes [mm] 0\cdot{P(X=0)} [/mm] gerechnet.
Die c) ist m. E. etwas schwammig gestellt. 25% von was? Ich interpretiere diese 25% als 25% vom Einsatz des Spielers.
Wenn x der Einsatz des Spielers ist, würde ich hier x berechnen, sodass gilt:
[mm] E(X)=x*P(X=0)+3\cdot{P(X=1)}+15*P(X=2)+50*P(X=3)=-\bruch{1}{4}*x [/mm] (die [mm] \bruch{1}{4} [/mm] entsprechen den 25%).
Wenn der Spieler x € (wobei du x explizit berechnen musst) einsetzt, erhält der Betreiber 25% vom Gewinn, d.h. der Spieler verliert im Erwartungswert 25% des eingesetzten Betrags - deswegen das Minuszeichen; es soll den Verlust des Spielers darstellen.
Gruß
barsch
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