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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:22 Do 13.05.2010 | | Autor: | howtoadd |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für jede Zufallsvariable X und jede reelle Zahl a [mm] \in \IR [/mm] gilt:
E((X-a)²) [mm] \ge [/mm] V(X)
mit Gleichheit genau dann, wenn a = E(X). Der Erwartungswert minimiert also die
mittlere quadratische Abweichung. |
Einen Schönen Feiertag!
ich weiß nicht, wie ich dies beweisen kann. Wie fange ich am besten an?
Ich würde mich sehr auf Tipps und Hilfestellungen freuen.
Lieben Gruß
howtoadd
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:23 Do 13.05.2010 | | Autor: | dormant |
Hi!
Hier musst du nur zwei Sachen benutzen:
i) Linearität des Erwartungswerts: Für X, Y Zufallsvariablen, a, [mm] b\in\IR [/mm] fest gilt E[aX+bY]=aE[X]+bE[Y];
ii) Defintion der Varianz: [mm] V[X]=E[X^2]-(E[X])^2.
[/mm]
Damit musst du zuerst die Ungleichung zeigen und dann noch die Äquivalenz (zwei Richtungen):
[mm] E[(X-a)^2]=V[X] \gdw [/mm] a=E[X].
Grüße,
dormant
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