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Seien X, Y zwei Zufallsvariablen, die auf einem Wahrscheinlichkeitsraum [mm] (\Omega, [/mm] P) definiert sind und jeweils Werte in {1; 2; 3; 4} annehmen. Es sei bekannt, dass
P(min(X, Y ) = 3) = 0,2; P(max(X, Y ) = 3) = 0,4; P(Y = 3) = 0,25:
Bestimmen Sie P(X = 3).
Ich schaue schon die ganze Zeit in mein matheskript aber ich finde bei Zufallsvariablen nichts zu P(min(X,Y)) bzw P(max(X,Y)).
Könnt ihr mir das vielleicht erklären und auch erklären wie ich P(X=3) bestimmen kann?
MfG
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> Seien X, Y zwei Zufallsvariablen, die auf einem
Sind X,Y unabhängig? Das wäre wohl sehr praktisch für diese Aufgabe.
> Wahrscheinlichkeitsraum [mm](\Omega,[/mm] P) definiert sind und
> jeweils Werte in {1; 2; 3; 4} annehmen. Es sei bekannt,
> dass
> P(min(X, Y ) = 3) = 0,2; P(max(X, Y ) = 3) = 0,4; P(Y = 3) = 0,25:
> Bestimmen Sie P(X = 3).
>
> Ich schaue schon die ganze Zeit in mein matheskript aber
> ich finde bei Zufallsvariablen nichts zu P(min(X,Y)) bzw
> P(max(X,Y)).
Für [mm] w\in\Omega [/mm] ist [mm] \min(X,Y)(w)=\min\{X(w),Y(w)\} [/mm] und analog [mm] \max(X,Y)(w)=\max\{X(w),Y(w)\}.
[/mm]
LG
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das weiß ich nicht ob sie unabhängig sind. davon steht zumindest nichts in der Aufgabenstellung..
Von dem was du mir geschrieben hast habe ich leider nichts verstanden :(
Sorry...
Mathegirl
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> das weiß ich nicht ob sie unabhängig sind. davon steht
> zumindest nichts in der Aufgabenstellung..
>
> Von dem was du mir geschrieben hast habe ich leider nichts
> verstanden :(
min(X,Y) und max(X,Y) sind zwei neue Zufallsvariablen, sie werden Punktweise für [mm] w\in\Omega [/mm] definiert.
Man braucht übrigens gar keine Unabhängigkeit, wie ich zunächst vermutete.
Es ist
$0,2=P(min(X, Y) = 3)=P(X=Y=3)+P(X>3,Y=3)+P(X=3,Y>3)$
$0,4=P(max(X, Y) = 3)=P(X=Y=3)+P(X<3,Y=3)+P(X=3,Y<3)$
Nun addiere mal beide Gleichungen.
LG
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Das mit dem addieren klappt irgendwie nicht so ganz...heben sich < und > gegegenseitig auf?
Woher hast du diese Gleichungen? Gibt es dazu Definitionen oder etwas, dass ich bei google irgendwo finden kann? Ich möchte es wirklich gerne verstehen.
MfG
Mathegirl
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> Das mit dem addieren klappt irgendwie nicht so ganz...heben
> sich < und > gegegenseitig auf?
Wie stellt man sich min(X,Y)=3 vor?
Es gibt drei (disjunkte) Möglichkeiten: entweder die Zufallsvariable X und Y haben beide den Wert 3, oder genau eine von beiden hat den Wert 3 und die andere hat kleineren Wert. Genau das besagt in Wahrscheinlichkeit die Gleichung
$ 0,2=P(min(X, Y) = 3)=P(X=Y=3)+P(X>3,Y=3)+P(X=3,Y>3) $,
die andere analog.
Durch Addition der beiden obigen Gleichungen erhältst Du
$0,6=2P(X=Y=3)+P(X>3,Y=3)+P(X=3,Y>3)+P(X<3,Y=3)+P(X=3,Y<3)$,
benutze nun, dass gilt
$P(Y=3)=P(X=Y=3)+P(X>3,Y=3)+P(X<3,Y=3)$
und
$P(X=3)=P(X=Y=3)+P(X=3,Y>3)+P(X=3,Y<3)$.
Damit hast Du
$0,6=P(X=3)+P(Y=3)$.
LG
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Wenn du alle mgl. Kombinationen aufschreibst, erhältst du
folgendes Muster (1. Ziffer X, 2. Ziffer Y):
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
41 42 43 44
Diese haben die uns unbekannten Wahrscheinlichkeiten
a b c d
e f g h
i j k l
m n o p
entsprechend der obigen Position, also P(32)= j.
min(X, Y ) = 3 heißt, du betrachtest alle Paare, deren kleinste Ziffer 3 ist. Das sind 33, 34 und 43. Die Wahrsch. dafür ist k+l+o= 0,2.
max(X, Y ) = 3 heißt, du betrachtest alle Paare, deren größte Ziffer 3 ist. Das sind 13, 23, 33, 31 und 32. Die Wahrsch. dafür ist c+g+k+i+j= 0,4.
Y=3 sind die Paare 13,23,33,43, ihre Wahrsch. ist c+g+k+o=0,25.
X=3 sind die Paare 31,32,33 und 34, ihre Wahrsch. ist i+j+k+l=?
Nun hast du
k+l+o= 0,2
c+g+k+i+j= 0,4
c+g+k+o=0,25
i+j+k+l=?
Die ersten beiden Gleichungen liefern c+g+k+i+j+k+l+o=0,2+0,4=0,6
Davon ziehst du die dritte nun ab, verbleiben
i+j+k+l=0,6-0,25=0,35.
Und genau das ist das, was du in der letzten Gleichung suchst.
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