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| Aufgabe | Seinen [mm]X_1,X_2,\ldots[/mm] unabhängig mit [mm]\sum\limits_{n\ge 1}\opreatorname{Var}(X_n) \ < \ \infty[/mm].
Dann konvergiert [mm]\sum\limits_{i=1}^{n}(X_i-EX_i)[/mm] f.s. gegen eine ZV [mm]X[/mm] |
Hallo zusammen,
meine Frage bezieht sich auf das Ende des Beweises, den ich am besten mal eintippe:
Bew.: Sei o.E. [mm]EX_i=0[/mm].
Nach irgendeiner Übung (die ich nicht habe) ist [mm]S_n=\sum\limits_{i=1}^{n}X_i[/mm] Cauchyfolge f.s. gdw. [mm]P\left(\bigcup\limits_{j,k\ge m}(|S_j-S_k|>\varepsilon)\right)\longrightarrow 0[/mm] für [mm]m\to\infty \ \ \ (\star)[/mm]
Es gilt [mm]P\left(\bigcup\limits_{k=1}^{\infty}(|S_{k+m}-S_m|>\varepsilon)\right) \ = \ \lim\limits_{n\to\infty}P\left(\bigcup\limits_{k=1}^{n}(|S_{k+m}-S_m|>\varepsilon)\right) \ = \ \lim\limits_{n\to\infty}P(\max\limits_{1\le k\le n}|S_{k+m}-S_m|>\varepsilon)[/mm]
[mm]\le \ \lim\limits_{n\to\infty}\frac{\operatorname{Var}(S_{m+n}-S_m)}{\varepsilon^2} \ = \ \lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\varepsilon^2}\sum\limits_{j=m+1}^{m+n}\operatorname{Var}(X_j)=\frac{1}{\varepsilon^2}\sum\limits_{j=m+1}^{\infty}\operatorname{Var}(X_j) \ \longrightarrow 0[/mm] für [mm]m\to\infty[/mm]
Bis hierhin ist mir das klar.
Nun: "Das reicht wegen [mm]|S_j-S_k| \ \le \ |S_j-S_m| \ + \ |S_k-S_m|[/mm]"
Wieso reicht das?
Er will doch zeigen, dass [mm]\sum\limits_{i=1}^{n}X_i[/mm] Cauchyfolge ist, wie kommt er denn mit dem "Das reicht" auf die obige Bedingung [mm](\star) \ \ P\left(\bigcup\limits_{j,k\ge m}(|S_j-S_k|>\varepsilon)\right)\longrightarrow 0[/mm] für [mm]m\to\infty[/mm] ?
Ich bin für jede Hilfe dankbar!
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:25 Mi 04.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo schachuzipus,
nach einigem Überlegen verstehe ich den/die Dozenten/in folgendermaßen:
Gezeigt ist:
[mm] $P(A_m)\longrightarrow [/mm] 0$ für [mm] $m\to\infty$
[/mm]
mit
[mm] $A_m:=\bigcup_{i=1}^\infty\underbrace{(|S_{i+m}-S_m|>\bruch\varepsilon2)}_{=:A_{mi}}$.
[/mm]
Zu zeigen ist
[mm] $P(B_m)\longrightarrow [/mm] 0$ für [mm] $m\to\infty$
[/mm]
mit
[mm] $B_m:=\bigcup_{j,k\ge m}^\infty\underbrace{(|S_j-S_k|>\varepsilon)}_{=:B_{jk}}$.
[/mm]
Daher genügt es, [mm] $B_m\subseteq A_m$ [/mm] für alle [mm] $m\in\IN$ [/mm] zu zeigen.
Sei dazu [mm] $\omega\in B_m$, [/mm] etwa [mm] $\omega\in B_{jk}$ [/mm] für [mm] $j,k\ge [/mm] m$. Wegen
[mm] $\varepsilon<|S_j-S_k|(\omega) [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] |S_j-S_m|(\omega) [/mm] \ + \ [mm] |S_k-S_m|(\omega)$
[/mm]
gilt dann
[mm] $|S_j-S_m|(\omega)>\bruch\varepsilon2$ [/mm] oder [mm] $|S_k-S_m|(\omega)>\bruch\varepsilon2$.
[/mm]
Etwa ersteres (letzteres behandelt man analog). Mit [mm] $i:=j-m\ge0$ [/mm] (auch [mm] $i\not=0$) [/mm] gilt dann [mm] $\omega\in A_{mi}\subseteq A_m.$
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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Hallo Tobias,
erstmal [mm] $10^3$ [/mm] Dank, das sieht sehr gut aus, ich werde es mir aber erst morgen in aller Ruhe zu Gemüte führen können.
Bis demnächst - es kommen sicher noch so einige Fragen ...
Gruß und schöne Ostertage
schachuzipus
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