Zufallsvariablen, Bernoulli-V. < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien $X, Y$ unabhängige {0,1}-wertige Zufallsvariablen (über demselben Wahrscheinlichkeitsraum) und jeweils [mm] Ber($\frac{1}{2}$)-verteilt.
[/mm]
Definiere $Z := X+Y$ mod 2.
Beweisen oder widerlegen Sie:
Z ~ [mm] Ber(\frac{1}{2}). [/mm] |
Hallo liebes Forum,
ich hänge an obiger Aufgabe fest. Da sie die erste mehrerer kleiner Teilaufgaben ist, bin ich mir nicht sicher, ob die vorausgesetzte Unabhängigkeit von X, Y mit einfliesst. Meine bisherigen Überlegungen sind folgende:
Laut Voraussetzung sind X und Y {0,1}-wertige Zufallsvariablen und jeweils [mm] Ber($\frac{1}{2}$)-verteilt. [/mm] Die Bernoulli-Verteilung ist auf einer zweielementigen Ergebnismenge [mm] \Omega [/mm] definiert.
Damit ergibt sich für das Wahrscheinlichkeitsmaß [mm] \IP [/mm] bzw. X, Y eine Gleichverteilung:
[mm] $\IP(X=0) [/mm] = [mm] \frac{1}{2}$ [/mm] , [mm] $\IP(X=1) [/mm] = [mm] \frac{1}{2}$
[/mm]
[mm] $\IP(Y=0) [/mm] = [mm] \frac{1}{2}$ [/mm] , [mm] $\IP(Y=1) [/mm] = [mm] \frac{1}{2}$
[/mm]
Nun haben wir die Zufallsvariable Z, definiert als
$Z := X+Y$ mod 2.
Da die Zufallsvariablen X,Y,Z Funktionen von [mm] \Omega [/mm] nach [mm] \IR [/mm] sind, erhalten wir:
[mm] $\forall\omega\in\Omega: Z(\omega) [/mm] = [mm] (X(\omega)+Y(\omega))$ [/mm] mod 2.
Es sind X und Y {0,1}-wertig, also offenbar ist Z damit auch {0,1}-wertig (denn Z ist 1 gdw. entweder [mm] X(\omega) [/mm] = 1 oder [mm] Y(\omega) [/mm] = 1; im Fall [mm] X(\omega) [/mm] = [mm] Y(\omega) [/mm] ist Z = 0).
Nun komme ich aber nicht weiter: Muss Z zwingend die [mm] Ber($\frac{1}{2}$)-Verteilung [/mm] sein? Kann nicht auch sowas gelten wie:
[mm] \IP(Z=0) [/mm] = [mm] \frac{1}{4} [/mm] , [mm] \IP(Z=1) [/mm] = [mm] \frac{3}{4} [/mm] ?
Für eine Hilfe bzw. einen weiterführenden Tipp wäre ich Euch dankbar, denn ich hänge schon eine ganze Weile an der Aufgabe fest 
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Huhu,
ok, deine Fallunterscheidung, wann was gilt, ist soweit korrekt.
Dann untersuchen wir das doch mal direkt.
[mm] $\IP(Z=0) [/mm] = [mm] \IP(X=Y) [/mm] = [mm] \IP(X-Y=0) [/mm] = [mm] \IP(X=Y=1 \cup [/mm] X=Y=0) = [mm] \IP(X=Y=1) [/mm] + [mm] \IP(X=Y=0) [/mm] = [mm] \IP(X=1 \wedge [/mm] Y=1) + [mm] \IP(X=0 \wedge [/mm] Y=0) = ...$
hier darfst du mal weitermachen.
MFG,
Gono.
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Hallo Gono,
erstmal vielen Dank für Deine Hilfen, die mich schon einige Male sehr viel weiter gebracht haben! Ich glaube, auch diesmal Deinen Tipp verstanden zu haben:
Auf [mm] \IP(X=1 \wedge Y=1)+\IP(X=0 \wedge [/mm] Y=0) kann ich ja nun die Unabhängigkeit von X und Y anwenden, also:
[mm] \IP(X=1 \wedge Y=1)+\IP(X=0 \wedge [/mm] Y=0) = [mm] \IP(X=1)\IP(Y=1) [/mm] + [mm] \IP(X=0)\IP(Y=0) [/mm] = [mm] \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} [/mm] + [mm] \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} [/mm] = [mm] \frac{1}{4} [/mm] + [mm] \frac{1}{4} [/mm] = [mm] \frac{2}{4} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}
[/mm]
Und damit ergibt sich auch [mm] \IP(Z=1) [/mm] = 1 - [mm] \IP(Z=0) [/mm] = 1 - [mm] \frac{1}{2} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}, [/mm] also insgesamt die gesuchte Bernoulli-Verteilung. Prima, danke!!
Vielleicht noch eine (letzte) Frage zur Notation: Wann schreibt man denn
[mm] \IP(X=Y=1 \cup [/mm] X=Y=0) bzw. [mm] \IP(X=Y=1 \vee [/mm] X=Y=0) (und analog für [mm] \cap/\wedge)?
[/mm]
Oder wird im Falle von Zufallsvariablen eher eine "lockere" Schreibweise akzeptiert?
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Huhu,
"locker" schreibt man ja schon, wenn man [mm] $\IP(X=k)$ [/mm] schreibt, denn eigentlich wäre die korrekte Notation ja [mm] $\IP(\{X=k\})$.
[/mm]
Daher kommt auch die "lockere" Schreibweise mit [mm] \vee [/mm] und [mm] \cup, [/mm] denn sauber aufgeschrieben gilt:
[mm] $\{X=1\vee X=0\}=\{X=1\}\cup \{X=0\}$ [/mm] und daher:
[mm] $\IP(\{X=1\vee X=0\})=\IP(\{X=1\}\cup \{X=0\})$
[/mm]
Lässt man nun die Mengenklammern wieder weg, steht da:
[mm] $\IP(X=1\vee X=0)=\IP(X=1\cup [/mm] X=0)$
MFG,
Gono.
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