Zufallsvariablen, Sigma-Alg. < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien [mm] X,Y,X_{1},X_{2},... [/mm] reelle Zufallsvariablen auf einem Ereignisraum [mm] (\Omega, \mathcal{A}).
[/mm]
Z.z.: a) {X=Y} [mm] \in \mathcal{A}
[/mm]
b) { [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}X_{n} [/mm] existiert } [mm] \in \mathcal{A}
[/mm]
c) { [mm] X=\limes_{n\rightarrow\infty}X_{n} [/mm] } [mm] \in \mathcal{A} [/mm] |
Hallo,
ich weiß nicht, wie ich bei der Aufgabe vorgehen muss, um diese Aufgabe zu zeigen. Ich weiß, dass reelle Zufallsvariablen nichts anderes bedeutet als reell messbar, d.h. wenn A' [mm] \in \mathcal{A}' [/mm] ist, dann folgt [mm] X^{-1} [/mm] A' [mm] \in \mathcal{A}, [/mm] d.h. X ist eine Zufallsvariable bzw. messbar.
Mit [mm] \mathcal{A} [/mm] ist hier die [mm] \sigma-Algreba [/mm] gemeint.
Muss man hier die Eigenschaften der [mm] \sigma-Algebra [/mm] anwenden?
Ich weiß nicht,wie ich das zeigen soll
Vielen Dank!
Milka
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:58 Di 31.10.2006 | | Autor: | DirkG |
Du musst hier deine (hoffentlich vorhandenen) Kenntnisse über messbare reelle (bzw. numerische) Funktionen anwenden, als da wären:
* Die Differenz zweier messbarer reeller Funktionen ist wieder messbar.
* Der Limes superior (und auch der Limes inferior) messbarer numerischer Funktionen ist wieder eine messbare numerische Funktion.
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Hallo,
die Tipps haben mir nur zum Teil weitergeholfen. Ich bin mir aber bei den beiden letzteren unsicher.
Dass {X=Y} in [mm] \mathcal{A} [/mm] liegt, habe ich so gezeigt:
Es gilt umgeformt: z.z.: {X-Y=0} [mm] \in \mathcal{A}
[/mm]
NAch Vor. sind X,Y reelle ZVen. Da die Differenz zweier messbaren Funktionen wieder messbar ist, d.h. X-Y ist Komposition der messbaren Abb. (X,Y): [mm] \omega \to \IR^{2} [/mm] und der Differenzabb. -: [mm] \IR^{2} \to \IR, [/mm] ist X-Y messbar, und 0 ist als konstante Abb. messbar. Also folgt die Beh. Stimmt das so?
Beim zweiten hab ich meine Schwierigkeiten:
Wenn lim [mm] X_{n} [/mm] existiert, kann ich dann folgern, dass auch lim sup [mm] X_{n} [/mm] existiert? Weil es gilt ja [mm] X_{n} \le [/mm] sup [mm] X_{n}, [/mm] und von sup [mm] X_{n} [/mm] weiß ich, dass es messbar ist aus der vorherigen Aufgabe, also würde folgen:
lim sup [mm] X_{n} [/mm] ist auch messbar, also auch lim [mm] X_{n} [/mm] messbar, da lim [mm] X_{n} \le [/mm] lim sup [mm] X_{n} [/mm] gilt.
Und analog beim dritten, wo der Grenzwert eben X ist.
Danke!
Milka
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:05 Mi 01.11.2006 | | Autor: | DirkG |
> Wenn lim [mm]X_{n}[/mm] existiert, kann ich dann folgern, dass auch
> lim sup [mm]X_{n}[/mm] existiert?
Nein, andersrum wird ein Schuh draus:
[mm] $U(\omega):=\limsup\limits_{n\to\infty} X_n(\omega)$ [/mm] und [mm] $V(\omega):=\liminf\limits_{n\to\infty} X_n(\omega)$ [/mm] existieren immer (allerdings ggfs. unter Hinzunahme von [mm] $-\infty$ [/mm] und [mm] $\infty$ [/mm] zum Wertebereich, das nennt man dann "numerische" statt "reelle" Funktionen) und sind auch messbar. Der Grenzwert [mm] $X(\omega):=\lim\limits_{n\to\infty} X_n(\omega)$ [/mm] existiert nun genau für die [mm] $\omega$, [/mm] für die [mm] $U(\omega)=V(\omega)$ [/mm] gilt (in dem Fall ist dann auch [mm] $X(\omega)=U(\omega)$), [/mm] womit wir wieder bei 1. wären...
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