Zufallsvariablen und Erw.wert < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen über zwei Zufallsvariablen X,Y [mm] \in \mathcal{L}^{1}:
[/mm]
a) [mm] E(X)=E(Y)\Rightarrow [/mm] P(X=Y)=1
b) E(|X-Y|)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] P(X=Y)=1
E ist hier die Abkürzung für den Erwartungswert. |
Hallo!!
E(X) ist definiert als [mm] E(X)=\summe_{x \in X(\Omega)}^{}x*P(X=x)
[/mm]
a)Da E(X)=E(Y) gilt, ist also
[mm] \summe_{x \in X(\Omega)}^{}x*P(X=x)= \summe_{y \in Y(\Omega)}^{}y*P(Y=y)
[/mm]
Wie folgt aber jetzt, dass P(X=Y)=1 ist? Wenn diese Gleichheit gilt, dann meiner Meinung nach doch x=y gelten, und dann ist P(X=x)=P(Y=y). Stimmt's? Wie folgt jetzt, dass die Wahrscheinlichkeit gleich 1 ist?
b) Es gilt:E(|X-Y|)=0,
also [mm] E(|X-Y|)=\summe_{|x-y|\in X(\Omega)-Y(\Omega)}^{}|x-y|*P(|X-Y|=|x-y|)=0.
[/mm]
Muss man die Betragsstriche überall hinschreiben? Meine Frage auch hier: Wie folgt hieraus, dass P(X=Y)=1 ist?
Es wäre nett, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen kann.
DANKE!
Infinity
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:29 Di 12.12.2006 | | Autor: | luis52 |
Moin Infinity1982 ,
a) Die Aussage ist falsch: Betrachte die Zufallsvariablen $X$ und $Y$ mit
$P(X=-1)=1/2=P(X=1)$ und $P(Y=-2)=1/2=P(Y=2)$. Offenbar gilt
[mm] $\mbox{E}[X]=0=\mbox{E}[Y]$, [/mm] jedoch ist
$P(X=Y)=0$.
b) Die Aussage ist korrekt: Angenommen, es ist [mm] $\mbox{E}(|X-Y|)=0$. [/mm] Ich
zeige, dass fuer die Menge $A=(X [mm] \neq Y)=\bigcup_{x \ne y}(X=x,Y=y)$ [/mm] gilt
$P(A)=0$. Es folgt damit [mm] $P(X=Y)=P(\overline{A})=1$.
[/mm]
Es ist
[mm] $0=\mbox{E}(|X-Y|)=\sum_x\sum_y|x-y|P(X=x,Y=y)=\sum\sum_{x\ne y}|x-y|P(X=x,Y=y)$.
[/mm]
Mithin ist $P(X=x,Y=y)=0$ fuer alle [mm] $x\ne [/mm] y$, w.z.b.w.
hth
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Hallo Luis,
vielen Dank für deine Erklärung, aber ich kann einiges nicht nachvollziehen:
> a) Die Aussage ist falsch: Betrachte die Zufallsvariablen [mm]X[/mm]
> und [mm]Y[/mm] mit
> [mm]P(X=-1)=1/2=P(X=1)[/mm] und [mm]P(Y=-2)=1/2=P(Y=2)[/mm]. Offenbar gilt
> [mm]\mbox{E}[X]=0=\mbox{E}[Y][/mm], jedoch ist
> [mm]P(X=Y)=0[/mm].
Warum ist E(X)=E(Y)=0? Wie sieht man das? Nach Vor. gilt ja nur E(X)=E(Y). Das ist dasselbe wie E(X)-E(Y)=E(X-Y)=0. Wie folgt dann daraus, dass E(X)=E(Y)=0 ist? Kannst du mir das bitte erklären?
P(X=Y)=0, weil X [mm] \not= [/mm] -2,2 ist, oder?
> b) Die Aussage ist korrekt: Angenommen, es ist
> [mm]\mbox{E}(|X-Y|)=0[/mm]. Ich
> zeige, dass fuer die Menge [mm]A=(X \neq Y)=\bigcup_{x \ne y}(X=x,Y=y)[/mm]
> gilt
> [mm]P(A)=0[/mm].
Wie zeige ich, dass P(A)=0 ist?
Es folgt damit [mm]P(X=Y)=P(\overline{A})=1[/mm].
> Es ist
>
> [mm]0=\mbox{E}(|X-Y|)=\sum_x\sum_y|x-y|P(X=x,Y=y)=\sum\sum_{x\ne y}|x-y|P(X=x,Y=y)[/mm].
Den Schritt habe ich verstanden.
> Mithin ist [mm]P(X=x,Y=y)=0[/mm] fuer alle [mm]x\ne y[/mm], w.z.b.w.
Wieso ist P(X=x,Y=y)=0? Ich versteh den Zusammenhang nicht ganz, dass wenn ich das alles gezeigt habe, dass dann [mm] P(X=Y)=P(\overline{A})=1 [/mm] folgt.
Danke für weitere Antwort.
Infinity
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:23 Mi 13.12.2006 | | Autor: | luis52 |
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> Warum ist E(X)=E(Y)=0? Wie sieht man das?
> > Es ist
> >
> >
> [mm]0=\mbox{E}(|X-Y|)=\sum_x\sum_y|x-y|P(X=x,Y=y)=\sum\sum_{x\ne y}|x-y|P(X=x,Y=y)[/mm].
>
> Den Schritt habe ich verstanden.
Gut.
> > Mithin ist [mm]P(X=x,Y=y)=0[/mm] fuer alle [mm]x\ne y[/mm], w.z.b.w.
> Wieso ist P(X=x,Y=y)=0?
Jeder der Summanden in [mm] $\sum\sum_{x\ne y}|x-y|P(X=x,Y=y)$ [/mm] ist Null, da die Gesamtsumme Null
ist. Nun gilt $|x-y|>0$ und [mm] $P(X=x,Y=y)\ge [/mm] 0$ fuer alle $x [mm] \ne [/mm] y$. Mithin muss gelten $P(X=x,Y=y)=0$.
> Ich versteh den Zusammenhang nicht
> ganz, dass wenn ich das alles gezeigt habe, dass dann
> [mm]P(X=Y)=P(\overline{A})=1[/mm] folgt.
$P( A)=P(X [mm] \neq Y)=\sum\sum_{x\ne y} [/mm] P(X=x,Y=y)=0 $. Das Ereignis $(X=Y)$ ist das Komplement von $A$ und folglich $P(X=Y)=1$.
hth
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Mi 20.12.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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