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| Aufgabe | | Um eine vertikale Achse senkrecht zur Stabachse rotiert ein Stab der Länge l=1,5m. Bei welcher Drehzahl reißt der Stab, wenn die Zugfestigkeit [mm] \sigma=700N/mm^{2} [/mm] beträgt und [mm] \rho [/mm] = 7,928 [mm] g/cm^{3}? [/mm] |
Hallo zusammen,
ich hänge seit einer Ewigkeit an dieser -eigentlich recht einfachen- Aufgabe.
Mein Ansatz ist, dass der Stab reißt, wenn die Zentripetalkraft durch Fläche A, also [mm] F_{z} A^{-1} [/mm] = [mm] a_{z} [/mm] m [mm] A^{-1} [/mm] die Zugfestigkeit überschreitet.
Da
[mm] a_{z} [/mm] = [mm] \omega^{2} [/mm] r
m = [mm] \rho [/mm] l A
ergibt sich:
[mm] \sigma [/mm] = [mm] a_{z} [/mm] m [mm] A^{-1} [/mm] = [mm] \omega^{2} [/mm] l [mm] \rho [/mm] l
Somit ist [mm] \omega= \wurzel{\bruch{\sigma}{ l^{2} \rho}}
[/mm]
Mit angepassten Einheiten ergibt sich
[mm] \omega [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{700 \* 1000}{1,5^{2} \* 7,928} \bruch{1}{s^{2}}}, [/mm] also f [mm] \sim [/mm] 31 Hz
Nur leider behauptet mein Aufgabenblatt, dass es 45 Hz seien...
Was mache ich falsch? Kann mir jemand helfen?
Vielen Dank schon vorab!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:36 So 28.09.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du rechnest so, als haettest du eine Punktmasse m=Stabmasse in der Entfernung l von der Achse! dann berechnest du die Kraft in dem Halteseil.
Ueberlegung: teil die Masse in 2*m/2 die du bei 3/4l und 1/4l anbringst. Wie gross ist die Kraft auf das aeussere Fadenstueck, wie auf das innere,
Dann verteil die Masse kontinuierlich!
Gruss leduart
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Hallo,
danke für Deine Antwort
Die Sache mit der Punktmasse habe ich nicht bedacht, das leuchtet mir ein.
Bei Deinem Vorschlag, die Masse zu trennen und auf verschiedenen Radien kreisen zu lassen, ergibt sich, dass die notwendige Haltekraft mit dem Radius ansteigt, soweit ist mir das jetzt klar.
Um die Masse kontinuierlich zu verteilen, werde ich wohl integrieren müssen und da habe ich das Problem, dass ich nicht ganz verstehe wie bzw. worüber.
Von Null bis l ist noch klar, aber über den Durchschnitt des Stabes?
Denn [mm] \integral_{0}^{l}{\rho A dl} [/mm] ergibt dann am Ende wieder das Gleiche wie oben.
Ich steh auf'm Schlauch. Für weitere Hilfe bzw. Hinweise zum Vorgehen bin ich dankbar.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:34 So 28.09.2008 | | Autor: | leduart |
hallo
Wo ist die Gesamtkraft, die zum Reissen fuehrt wohl am groessten?
berechne die Kraft, die ein Stueckchen dx des Stabes in der Entfernung x bewirkt.
im letzten Stueckchen wirkt ja praktisch keine kraft.
also musst du fuer weiter innen ueber alle kraefte integrieren, um die Gesamtkraft auszurechnen.
Fang an, im Abstand x hat man die Masse dm= M/L*dx die Zentrifugalkraft ist dafuer... die Gesamtkraft, die am innersten Stueck aufgebracht werden muss ist deshalb...
Was dein Integral soll weiss ich nicht, wenn du den Teil mit der aufteilung in 2 massen wirklich angesehen hast!
Gruss leduart
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Hallo,
danke für die Hilfe.
Ich habe (hatte) mir Deinen Teil mit der Aufteilung angesehen, aber offenbar habe ich nicht verstanden, worauf Du damit hinauswillst.
Ehrlich gesagt, ich habe auch jetzt Probleme Dir zu folgen. Entweder bin ich nach der ewigen Lernerei schon fix und fertig, oder ich kann mich in diese Denkweise nicht versetzen.
Also der Reihe nach:
[mm] F_{z} [/mm] = [mm] a_{z} [/mm] m = r [mm] \omega^{2} [/mm] m
Bei gleichbleibender Winkelgeschwindigkeit und Masse (jeweils m/2) ist die Kraft bei r=1/4 genau um Faktor 3 kleiner als bei r=3/4. Das heißt, die Kraft steigt linear nach außen an, mit steigendem Radius steigt die Haltekraft.
Du schreibst, "Dann verteil die Masse kontinuierlich". Das bedeutet für mich, dass ich Integrieren muss, die Masse über die ganze Länge des Stabes verteilen muss. Da bin ich aber - wie geschrieben - nicht sonderlich weit gekommen, bzw. wieder beim Anfang mit der Formel [mm] \omega^{2} [/mm] m r angelangt.
Doch weiter: Du teilst die Masse m entlang der Länge l in Stückchen m/l auf und verteilst sie auf kleinen Wegstücken x auf. Alle x ergeben später wieder l.
Im Abstand x hat man dann die Kraft [mm] F_{z} [/mm] = [mm] \omega^{2} [/mm] x [mm] \integral_{0}^{x}{m/l dx}
[/mm]
Für die gesamte Länge l ergibt sich dann
[mm] F_{z} [/mm] = [mm] \omega^{2} [/mm] l [mm] \integral_{0}^{l}{m/l dx} [/mm] und damit [mm] \omega^{2} [/mm] l m.
Stimmt aber offenbar nicht und ich begebe mich zunehmends ins Gebiet des Ratens statt Verstehens. :-(
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Hallo!
So schlecht sind deine Überlegungen nicht, du solltest jedoch mit der Formel von eben weiter machen:
[mm] $F=\omega^2*r*\int \rho [/mm] A dr$
Das Integral liefert dir doch einfach die Gesamtmasse des Stabes, und r ist dann wohl wieder die Länge.
Dabei hat doch jedes Massestück seine eigene Entfernung, sodaß jedes Massestück die Kraft
[mm] dF=\omega^2*r*\rho*A*dr
[/mm]
hat.
Darüber mußt du integrieren. Das ist nun nicht weiter schwer, nach 9Live heißt das für die 1. Gleichung "Sie müssen nur ein Streichholz in die Gleichung umsetzen, damit es stimmt!"
Es ist übrigens normal, daß es einem schwer fällt, physikalische Probleme mittels INtegralen zu lösen. Sowas kommt in der Schule nicht oder kaum vor. Aber je nach Fachrichtung wirst du dich dran gewöhnen 
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Danke, jetzt komme ich dem schon näher!
Integriert nach 9Live (das ist was für die Klausur) wird dann
F= 0.5 [mm] \omega^2 r^2 \rho [/mm] A
draus und damit endlich die ersehnten 45 Hz. Hurra!
Verstehe ich das so richtig:
Der Stab wird (gedanklich) in einer Ebene zersägt in lauter hauchdünne/unendlich dünne Flächenstücken mit Fläche A und Breite dr.
Diese einzelnen "Stücke Fläche" A haben alle ihre eigene Rotationskraft, hier kann ich auf die bekannte Formel zurückgreifen, denn im Grunde betrachte ich Flächenstücke mit infinitesimal kleiner Breite, also Massenpunkte.
Um das Ganze wieder zusammen zu setzen, sprich die kleinen Stückchen Fläche A von Null bis l aufzureihen, wird integriert.
Dabei wird "auf der linken Seite" der Gleichung die Gesamtkraft zusammengesetzt, auf der rechten Seite die ganzen Flächenstückchen bis zur Gesamtlänge l hintereinander gesetzt, sodass wieder das Volumen des Stabes, also l A entsteht.
Durch A teilen, umformen, Wurzel ziehen, umrechnen und 45 Herz herausbekommen.
Hoffe das stimmt jetzt so?
Dann war mein Fehler beim Integral Nummer eins, dass ich zwar die Länge/Masse, nicht aber die Kraft zerlegt habe.
Richtig?
PS: Danke für Deine aufbauenden Worte zum Integral. Du hast Recht: In der Schulphysik gab es das nicht, zudem ist diese auch schon so lange her, dass ich es auch gar nicht mehr wüsste...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:22 Mo 29.09.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Danke, jetzt komme ich dem schon näher!
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> Integriert nach 9Live (das ist was für die Klausur) wird
> dann
> F= 0.5 [mm]\omega^2 r^2 \rho[/mm] A
> draus und damit endlich die ersehnten 45 Hz. Hurra!
>
> Verstehe ich das so richtig:
> Der Stab wird (gedanklich) in einer Ebene zersägt in
> lauter hauchdünne/unendlich dünne Flächenstücken mit Fläche
> A und Breite dr.
>
> Diese einzelnen "Stücke Fläche" A haben alle ihre eigene
besser Volumenelemente mit der masse dm damit Masseelemente
> Rotationskraft, hier kann ich auf die bekannte Formel
sie haben keine Kraft, sondern es wirkt auf sie die Zentrifugalkraft, bzw, um sie zu halten braucht man die Zentripetalkraft.
> zurückgreifen, denn im Grunde betrachte ich Flächenstücke
> mit infinitesimal kleiner Breite, also Massenpunkte.
> Um das Ganze wieder zusammen zu setzen, sprich die kleinen
> Stückchen Fläche A von Null bis l aufzureihen, wird
> integriert.
Nein, ich will nur die Kraefte addieren, die Gesamtkraft wirkt nur am innersten Pkt des Stabes, wenn du die Kraft etwa, die in der mitte wirkt wissen willst, darfst du nur die Kraefte von L bis L/2 summieren.
> Dabei wird "auf der linken Seite" der Gleichung die
> Gesamtkraft zusammengesetzt, auf der rechten Seite die
> ganzen Flächenstückchen bis zur Gesamtlänge l
links und rechts steht dasselbe, nur rechts als Formel, in der auch L vorkommt. aber du addierst wirklich nicht die Stueckchen, sondern die Kraefte!
> hintereinander gesetzt, sodass wieder das Volumen des
> Stabes, also l A entsteht.
Nein!
> Durch A teilen, umformen, Wurzel ziehen, umrechnen und 45
> Herz herausbekommen.
Warum und wo durch A teilen?
> Hoffe das stimmt jetzt so?
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> Dann war mein Fehler beim Integral Nummer eins, dass ich
> zwar die Länge/Masse, nicht aber die Kraft zerlegt habe.
> Richtig?
Wenn du sagst, dass du fuer die Gesamtkraft die Kraefte addieren musst und dass es sinnlos ist die Laenge einfach zu zerlegen und wieder zusammenzusetzen , dann ja.
> PS: Danke für Deine aufbauenden Worte zum Integral. Du hast
> Recht: In der Schulphysik gab es das nicht, zudem ist diese
> auch schon so lange her, dass ich es auch gar nicht mehr
> wüsste...
Gruss leduart
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Und ich war mir bei meinem letzten Post schon sicher, dass ich es jetzt verstanden hatte, aber das war offenbar doch nicht so.
Ich hoffe mir reicht mein jetziges Halbwissen zu dem Thema, leider fehlt mir bis zur Klausur die Zeit diese eine Aufgabe (von ca. 300) so im Detail durchzuarbeiten, sodass ich jetzt aufgebe.
Vielen, vielen Dank für eure Mühe und Einsatz!
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