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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:57 Di 26.08.2008 | | Autor: | stowoda |
| Aufgabe | Die Folge [mm] (a_{n})=\bruch{1}{n} [/mm] konvergiert gegen 0.
Es gibt ja diese Definition des Grenzwertes von Folgen:
a ist der Grenzwert einer Folge, wenn für [mm] \epsilon>0 [/mm] es ein [mm] n_{0} [/mm] gibt für das gilt:
[mm] |a_{n}-a|<\epsilon [/mm] für alle [mm] n\gen_{0}
[/mm]
Also der Abstand der Folgeglieder zum Grenzwert immer kleiner wird mit steigendem n. |
Ich weiss, dass es sehr grundlegend ist, hoffe jedoch auf Verständnis von Euch.
Verstehe ich das richtig? :
Laut dieser Definition einer konvergenten Folge, muss ich ein [mm] \epsilon(n_{0}) [/mm] angeben, zB.: [mm] \epsilon=\bruch{1}{4}, [/mm] also einen Abstand des zugehörigen Folgengliedes zum Grenzwert. Und dann zeigen, dass zB.: für ein [mm] n_{1} \ge n_{0}, |a_{n_{1}}-a|<\epsilon_{n_{0}} [/mm] gilt.
Wenn im Beispiel mein [mm] \epsilon [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}, [/mm] dann ist mein [mm] n_{0} [/mm] = [mm] n_{4}, [/mm] da es ja das vierte Folgenglied angibt. Ein [mm] n\gen_{0} [/mm] wäre nun zB.: 5 also:
[mm] |\bruch{1}{5}-0|<\bruch{1}{4} [/mm]
wenn ich aber für mein n [mm] \ge n_{0}, [/mm] das [mm] n_{0} [/mm] selber wähle, dann wird die Ungleichung nicht mehr erfüllt.
[mm] |\bruch{1}{4}-0|<\bruch{1}{4} [/mm] ist ja falsch
Ich hoffe Ihr könnt mir soweit folgen...
Grüße
stowoda
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> Die Folge [mm](a_{n})=\bruch{1}{n}[/mm] konvergiert gegen 0.
>
> Es gibt ja diese Definition des Grenzwertes von Folgen:
>
> a ist der Grenzwert einer Folge, wenn für [mm]\epsilon>0[/mm] es ein
> [mm]n_{0}[/mm] gibt für das gilt:
> [mm]|a_{n}-a|<\epsilon[/mm] für alle [mm]n\gen_{0}[/mm]
am Schluss müsste es heissen: "für alle n mit [mm] n>n_0"
[/mm]
Wichtig ist vor allem, dass es für jedes noch so kleine
positive [mm] \epsilon [/mm] ein derartiges [mm] n_0 [/mm] = [mm] n_0(\epsilon) [/mm] gibt !
> Also der Abstand der Folgeglieder zum Grenzwert immer
> kleiner wird mit steigendem n.
> Verstehe ich das richtig? :
>
> Laut dieser Definition einer konvergenten Folge, muss ich
> ein [mm]\epsilon(n_{0})[/mm] angeben, zB.: [mm]\epsilon=\bruch{1}{4},[/mm]
> also einen Abstand des zugehörigen Folgengliedes zum
> Grenzwert. Und dann zeigen, dass zB.: für ein [mm]n_{1} \ge n_{0}, |a_{n_{1}}-a|<\epsilon_{n_{0}}[/mm]
> gilt.
Nicht so ganz. Um die Konvergenz der Folge gegen den
Grenzwert a nachzuweisen, genügt es nicht, die
epsilon-Rechnung für einen bestimmten Wert von
epsilon, also z.B. [mm] \epsilon=\bruch{1}{4} [/mm] oder [mm] \epsilon=\bruch{1}{10000}
[/mm]
durchzuführen (Zwar werden solche Beispielrechnungen in
Aufgaben auch etwa verlangt).
Man sollte also das [mm] \epsilon [/mm] als Parameter vorläufig einfach
einmal beibehalten.
Dann muss man sich überlegen: Welche Ungleichung
muss eine (grosse) natürliche Zahl n erfüllen, damit
die Ungleichung
[mm]|a_{n}-a|<\epsilon[/mm]
sicher erfüllt wird. Man schreibt einfach diese Ungleichung
einmal hin und setzt darin ein, was gegeben ist.
Im vorliegenden Beispiel wissen wir: [mm] a_n=\bruch{1}{n} [/mm] und a=0
(a ist der vermutete, aber eben noch zu beweisende Grenzwert).
Dies eingesetzt, haben wir die Ungleichung
[mm]\left{|}\bruch{1}{n}-0 \right{|}<\epsilon[/mm]
Jetzt gilt es, diese Ungleichung nach n aufzulösen. Das ist
in diesem Beispiel sehr einfach. Auf den Subtrahend 0 können
wir natürlich verzichten, und auf die Absolutstriche in diesem
Fall auch, da wir voraussetzen dürfen, dass n (die Nummer
eines beliebigen Folgengliedes) positiv ist und damit auch
sein Kehrwert [mm] \bruch{1}{n}. [/mm] Darum sind die Absolutstriche
in diesem Beispiel überflüssig, und wir kommen zur
Ungleichung
[mm] \bruch{1}{n}<\epsilon
[/mm]
Multiplizieren wir sie mit dem positiven n und
dividieren wir durch das ebenfalls positive [mm] \epsilon,
[/mm]
so haben wir:
[mm] \bruch{1}{\epsilon}
oder:
[mm] n>\bruch{1}{\epsilon}
[/mm]
Das bedeutet nun: Für jede Zahl n, die grösser als [mm] \bruch{1}{\epsilon} [/mm] ist,
ist der Abstand von [mm] a_n [/mm] und a tatsächlich kleiner als [mm] \epsilon.
[/mm]
Und da das [mm] \epsilon [/mm] in den vorangehenden Überlegungen jeden
noch so winzigen positiven Wert annehmen kann, müssen also
die [mm] a_n [/mm] beliebig nahe an a herankommen, wenn nur n genügend
gross gemacht wird, eben [mm] n>\bruch{1}{\epsilon}. [/mm] Die Zahl,
welche der Term auf der rechten Seite dieser Ungleichung für
einen vorgegebenen positiven Wert von [mm] \epsilon [/mm] liefert, ist nun
die gesuchte Zahl [mm] n_0(\epsilon). [/mm] Sollte [mm] \bruch{1}{\epsilon}
[/mm]
keinen ganzzahligen Wert liefern, so rundet man auf die nächst-
höhere (oder grosszügig auf eine ev. noch höhere) ganze Zahl auf.
[mm] (n_0 \in \IZ)
[/mm]
Gruß al-Chwarizmi
stowoda
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:48 Di 26.08.2008 | | Autor: | stowoda |
Vielen Dank, das war eine sehr erschöpfende Erklärung.
Habs nun endlich verstanden.
:)
Grüße
stowoda
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