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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:46 Fr 08.06.2007 | | Autor: | Nicole20 |
Hab da so ein Problem umd benötige dringend Hilfe:
Ich muss 5 Aussagen beweisen oder widerlegen, leider ist das genau mein Problem da den richtigen Ansatz zufinden, wenn ich ihn hab gehts meistens. Hoffentlich kann mir jemand helfen:
Es seien A und B Teilmengen eines normierten Vektorraums.
Beweise oder widerlege:
1. [mm] \overline{A \cup B} [/mm] = [mm] \overline{A} \cup \overline{B}
[/mm]
2. [mm] (\overline{A})° [/mm] = A, falls A offen ist.
3. A° [mm] \cup [/mm] B° [mm] \subset [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)°
4. [mm] \overline{A \cap B} \subset \overline{A} \cap \overline{B}
[/mm]
5. [mm] \partial(A \cup [/mm] B) = [mm] \partial [/mm] A [mm] \cup \partial [/mm] B
Danke schonmal vielmals!!!
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Tipps: Bei Äquivalenzen ist es oft nützlich, die beiden Richtungen der Inklusion getrennt zu betrachten. Für Gegenbeispiele ist in der Regel [mm]\IR[/mm] (aufgefasst als eindimensionaler normierter Raum) ausreichend. Auch nützlich ist, gewisse krasse Beispiele von Abschlüssen und offenen Kernen zu kennen. Etwa [mm]\overline{\IQ}=\IR[/mm] und [mm]\IQ^\circ = \emptyset[/mm]. Wichtig ist hier auch die Schlussweise, die man daraus erhält, dass ja die abgeschlossene Hülle [mm]\overline{A}[/mm] einer Menge [mm]A[/mm] die kleinste Menge ist, die [mm]A[/mm] enthält, und zugleich abgeschlossen ist. Analog beim offenen Kern: [mm]A^\circ[/mm] ist die grösste Menge, die in [mm]A[/mm] enthalten und zugleich offen ist. Übergang zum Abschluss bzw. zum offenen Kern ist des weiteren auch "inklusionsmonoton": [mm]A\subseteq B \Rightarrow \overline{A}\subseteq \overline{B}[/mm] und [mm]A\subseteq B \Rightarrow A^\circ \subseteq B^\circ[/mm]
Immer wieder einmal braucht man auch die "Verbandseigenschaften" von Vereinigung bzw. Durchschnitt von Mengen wie [mm]A, B\subseteq C\Rightarrow A\cup B\subseteq C[/mm] und [mm]C\subseteq A, B\Rightarrow C\subseteq A\cap B[/mm].
Zu Deinen Aufgaben:
1. Die Inklusion [mm]\overline{A \cup B}\subseteq \overline{A}\cup \overline{B}[/mm] gilt, da [mm]A, B\subseteq \overline{A}\cup \overline{B}[/mm] und [mm]\overline{A}\cup \overline{B}[/mm] abgeschlossen ist.
Auch die Inklusion [mm]\overline{A \cup B} \supseteq \overline{A}\cup \overline{B}[/mm] gilt, weil [mm]\overline{A \cup B} \supseteq \overline{A}, \overline{B}[/mm]
2. [mm](\overline{A})^\circ\supseteq A[/mm] gilt, weil die linke Seite offen ist und die (offene Menge) [mm]A[/mm] enthält. Die umgekehrte Inklusion ist problematischer. Hier könnte man versucht sein, nach einem Gegenbeispiel zu suchen. Gelingt dies nicht, lernt man vielleicht dabei etwas über die Gründe, weshalb auch diese Richtung der Inklusion gelten könnte...
3. Diese Inklusion hingegen ist leicht zu beweisen, denn die rechte Seite enthält sowohl [mm]A^\circ[/mm] als auch [mm]B^\circ[/mm], also auch deren Vereinigung.
4. Ist ebenfalls kein Problem: zeige einfach, dass die linke Seite der Inklusion abgeschlossen ist und [mm]A\cap B[/mm] enthält.
5. Diese Inklusion ist schwieriger zu zeigen. Man könnte versucht sein, ein Gegenbeispiel zu suchen. - Gelingt dies nicht (in nützlicher Frist), so versucht man wohl zu zeigen, dass die "expandierte" Form
[mm]\overline{A\cup B}\backslash(A\cup B)^\circ \subseteq \overline{A}\backslash A^\circ \cup \overline{B}\backslash B^\circ[/mm]
aufgrund rein mengenalgebraischer Umformungen (primär der rechten Seite) richtig ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Sa 09.06.2007 | | Autor: | Nicole20 |
Ok super das habe ich alles soweit verstanden. Jetzt nochmal zu 3.: Reicht das wenn man sagt, dass die rechte seite A° und B° und auch deren Vereinigung enthält?
Und bei 2. finde ich für den zweiten Teil des Beweises einfach kein Gegenbeispiel, also muss das doch auch gelten oder vertu ich mich?
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Also 3. war die Behauptung [mm]A^\circ\cup B^\circ \subseteq (A\cup B)^\circ[/mm]
Aus [mm]A^\circ \subseteq (A\cup B)^\circ[/mm] und [mm]B^\circ \subseteq (A\cup B)^\circ[/mm] folgt in der Tat, die Behauptung (denn die Vereinigung von Mengen ist bezüglich der Inklusionsrelation die kleinste obere Schranke ihrer Argumente: deshalb muss sie in jeder anderen oberen Schranke ihrer beiden Argumente enthalten sein).
Und weshalb gelten, Deiner Meinung nach, diese beiden Inklusionen? Nun, dies ist die Inklusionsmonotonie des "Kern"-Operators: aus [mm]U\subseteq V[/mm] folgt immer [mm]U^\circ\subseteq V^\circ[/mm]. Natürlich gilt [mm]A,B\subseteq A\cup B[/mm]. Damit haben wir alles gezeigt.
Zu 2., der Behauptung also, dass für alle offenen [mm]A[/mm] gilt: [mm](\overline{A})^\circ\subseteq A[/mm]. Leider ist Deine Vermutung falsch. Aber das kann einem schon mal geschehen: dass man einer falschen Vermutung auf den Leim geht und sich eine gute Weile beim Versuch, eine solche falsche Vermutung zu beweisen, müde arbeitet. -- Danach geht man dann zur Suche eines Gegenbeispiels zurück. Betrachte einmal [mm]A := ]0;1[\, \cup\, ]1;2[[/mm]. Es handelt sich jedenfalls um eine offene Menge (da Vereinigung endlich vieler offener Mengen: zweier offener Intervalle). Beim Übergang von [mm]A[/mm] zu [mm]\overline{A}[/mm] geschieht dann aber etwas dramatisches, das dazu führt, dass die Behauptung 2. widerlegt wird...
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