Zusammenhängende Menge < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:27 Do 08.05.2008 | | Autor: | DerGraf |
| Aufgabe | Seien [mm] X=M_{nn}(R) [/mm] der Raum aller n-reihigen quadratischen reellen Matrizen [mm] A=(a_{ij}) [/mm] mit der Norm [mm] ||A||=\wurzel{\sum_{i,j=1}^{n} a_{ij}^2} [/mm] und M=GL(R,n) die Gruppe der (bzgl. der Matrixmultiplikation) invertierbaren Matrizen in X.
Zeigen Sie, dass M keine zusammenhängende Menge ist.
(Tipp: Betrachten Sie f(A)=detA.) |
Ich bräuchte einen Ansatz, wie ich an die Aufgabe herangehen soll und dabei Determinanten, Normen und Gruppen zusammenwürfeln muss, damit am Ende eine Aussage über den Zusammenhang von M herauskommt. Hat einer eine Idee hierzu?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:55 Do 08.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Seien [mm]X=M_{nn}(R)[/mm] der Raum aller n-reihigen quadratischen
> reellen Matrizen [mm]A=(a_{ij})[/mm] mit der Norm
> [mm]||A||=\wurzel{\sum_{i,j=1}^{n} a_{ij}^2}[/mm] und M=GL(R,n) die
> Gruppe der (bzgl. der Matrixmultiplikation) invertierbaren
> Matrizen in X.
>
> Zeigen Sie, dass M keine zusammenhängende Menge ist.
> (Tipp: Betrachten Sie f(A)=detA.)
> Ich bräuchte einen Ansatz, wie ich an die Aufgabe
> herangehen soll und dabei Determinanten, Normen und Gruppen
> zusammenwürfeln muss, damit am Ende eine Aussage über den
> Zusammenhang von M herauskommt. Hat einer eine Idee hierzu?
Bedenke, dass f eine stetige Funktion ist, sodass das Bild einer zusammenhängenden Menge unter f auch zusammenhängend ist!
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:48 Fr 09.05.2008 | | Autor: | DerGraf |
Danke für deine schnelle Antwort.
Da ich zeigen soll, dass M keine zusammenhängende Menge ist, muss ich also zeigen, dass Bild(f(A)) nicht zusammenhängend ist?
Woher weis ich eigentlich,dass f stetig ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:54 Fr 09.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
was ist denn das bild von $M = [mm] \textrm{GL}(\mathbb{R}, [/mm] n)$ unter [mm] $\det: M_{n,n} (\mathbb{R}) \longrightarrow \mathbb{R}$? [/mm] zur stetigkeit: schau dir mal die leibniz-formel an: darin komen nur operationen vor, von denen man für gewöhnlich weiß, dass sie stetig sind.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:51 Fr 09.05.2008 | | Autor: | DerGraf |
Also ist:
[mm] f(A)=det(A)=\sum_{\sigma \in S_{n}} \left(\operatorname{sgn} \sigma \prod_{i=1}^{n} a_{i,\sigma(i)}\right) [/mm]
und somit eine Polynom bestehend aus Einträgen von A und somit stetig, richtig?
Dann wissen wir aus der linearen Algebra, dass: [mm] det(A)\not=0 \gdw [/mm] A ist invertierbar.
Aufgrund der Stetigkeit der Determinantenfunktion und aufgrund der eben erwähnten Äquivalenz muss also die Bildmenge aus 2 getrennten offenen Mengen bestehen (eine negative und eine positive). Diese haben als Schnittmenge die leere Menge und als Vereinigungsmenge ganz M=GL(R,n).
Damit sind sie nicht zusammenhängend, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:02 Fr 09.05.2008 | | Autor: | andreas |
ja.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 Fr 09.05.2008 | | Autor: | DerGraf |
Und an welcher Stelle benötige ich nun die Norm?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:07 Fr 09.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
stetigkeit ist ein topologischer begriff und da in endlichdimensionalen vektorräumen [mm] ($M_{n,n}(\mathbb{R}) \cong \mathbb{R}^{n^2}$) [/mm] alle normen äquivalent sind und damit die selbe topologie erzeugen ist die stetigkeit unabhängig von der konkret gewählten norm. die hier angegeben norm kannst du also getrost vergessen, es genügt hier zu wissen, dass die topologie von einer norm kommt.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:50 Fr 09.05.2008 | | Autor: | DerGraf |
Vielen >Dank für deine schnelle Hilfe. Ich hab die Aufgabe jetzt fertig.
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