Zusammenhängende Tripel < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | [mm] a^2=b^2+c^2
[/mm]
[mm] b^2=h^2+p^2
[/mm]
[mm] c^2=h^2+q^2
[/mm]
a=p+q
und
a,b,c,h,p,q ganzzahlig
|
Hallo! Ich suche ein Pythagoreisches Tripel mit folgender Eigenschaft: Die HÖHE des Dreiecks soll ebenfalls ganzzahlig sein. Welches ist die einfachste (mit möglichst kleinen Zahlen) Lösung? Ich habe mit der pq-Formel rumprobiert und auch mit Heronischen Dreiecken aber ich bin wohl mittlerweile zu doof geworden... Vielen Dank im voraus! Gruss </Kai>
|
|
| |
|
Formt man etwas um, erhält man:
[mm]b^2 = p a[/mm]
[mm]c^2 = q a [/mm]
Also ist
[mm]\bruch{b^2}{c^2} = \bruch{p a}{q a} = \bruch{p}{q}[/mm]
Mit ganzen Zahlen geht das nur, wenn auch p und q bereits Quadratzahlen sind. Dann folgt analog aus [mm]b^2 = p a[/mm] , dass auch a schon eine Quadratzahl sein muss.
Mit [mm]a = p + q[/mm] ergibt sich dann, dass bereits (a, p, q) ein pythagoreisches Tripel sein muss!
Damit hast du auch deine Lösung: Nimm das kleinste PT für (a, p, q), also [mm] (5^2, 4^2, 3^2). [/mm] Dann ist b=20, c=15 und h=12.
|
|
|
| |
|
Als kleines Bonbon dafür, dass die Anwort so lange auf sich warten ließ (hab die Frage aber auch nicht früher gesehen), hier noch ein paar Anmerkungen:
Was vielleicht auffällt, ist dass das neue pythagoreische Dreieck mit den Seitenlängen (25, 20, 15) dem ursprünglichen (5, 4, 3) ähnlich ist - alle Werte wurden mit 5 multipliziert, der Länge der Hypothenuse. Außerdem zerfällt das neue Dreieck in zwei weitere pythagoreische Dreiecke, gebildet aus b, p, h (20, 16, 12) und c, h, q (15, 12, 9), die ebenfalls dem ursprünglichen ähnlich sind (einmal haben wir die Werte mit der Länge der längeren, einmal mit der Länge der kürzeren Kathete multipliziert).
Dass das kein Zufall ist und für alle anderen analogen Konstruktionen auch gelten würde, kannst du selbst mal nachrechnen.
Halten wir fest: Man kann zu einem beliebigen pythagoreischen Dreieck drei weitere pythagoreische Dreiecke finden, die diesem ähnlich sind und von denen die beiden kleineren zusammen das größere ergeben. Dazu muss man nur die Längen der Seiten des ursprünglichen Dreiecks jeweils mit den Längen einer der drei Seiten multiplizieren.
(Keine Ahnung, ob das schon mal jemand als Satz festgehalten hat, vermutlich schon, so schwer war's ja nicht - falls jemand was weiß, lass' er oder sie es mich wissen.)
|
|
|
|
