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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:33 Mo 16.04.2007 | | Autor: | Nicole20 |
Hallo ihr Lieben!
Ich bin neu hier und ich habe leicht Schwierigkeiten beim lösen einer Aufgabe. Ich hoffe mir kann irgendjemand helfen:
Es sei f ein Endomorphismus des K-Vektorraums V.
1. Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Eigenwerten und den Eigenvektoren von f und f^-1 (f hoch minus 1), wenn f ein Isomorphismus ist?
2. Welche Eigenwerte kann f haben, wenn f²(f hoch [mm] 2)=id_{v}?
[/mm]
3. Welche Eigenwerte kann f haben, wenn f³(f hoch 3)=f gilt?
Also zu eins kann ich sagen dass f^-1 ebenfalls ein Isomorphismus ist, aber leider weiß ich nicht wie der Zusammenhang dann aussieht....
Ich hoffe mir kann jemand helfen. 
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Nunja, was ist denn ein Eigenvektor?
Ein Eigenvektor ist einer, der durch die Abbildung auf einen PARALLELEN Vektor abgebildet wird.
Der Unterschied ist die Länge. Das Verhältnis zwischen der Länge der beiden ist der Eigenwert.
Nun, [mm] f^{-1} [/mm] kehrt $f$ ja grade um, also [mm] $f^{-1}(f({\vec x}))=\vec [/mm] x$
Jetzt die Frage: Der parallele Eigenvektor wird durch [mm] f^{-1} [/mm] wieder auf den ursprünglichen abgebildet.
Das heißt, [mm] f^{-1} [/mm] hat die gleichen Eigenvektoren!
Und wenn ein Eigenvektor durch $f$ um den Faktor [mm] \lambda [/mm] vergrößert wird, was muß [mm] f^{-1} [/mm] dann diesbezüglich machen?
Wenn du erst diese Vorstellung gewonnen hast, sollten auch die anderen beiden Aufgaben kein Problem sein, oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:05 Di 17.04.2007 | | Autor: | Nicole20 |
Zu deiner Frage mit [mm] \lambda:
[/mm]
Wenn in f um [mm] \lambda [/mm] vergrößert wird, dann wird doch in f^-1 verkleinert oder?
zu der 2. Frage hab ich auch eine Frage:
Kann f die Eigenwerte von [mm] id_{v} [/mm] haben?
Oder verstehe ich das falsch?
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> Zu deiner Frage mit [mm]\lambda:[/mm]
> Wenn in f um [mm]\lambda[/mm] vergrößert wird, dann wird doch in
> f^-1 verkleinert oder?
Hallo,
ja, so ist das.
Für Dich scheint das aber noch in Frage zu stehen.
Gucken wir also gemeinsam nach.
Sei [mm] \lambda [/mm] ein EW von f und [mm] \vec{x_{\lambda}} [/mm] ein zugehöriger EV.
Dann ist ja [mm] f(\vec{x_{\lambda}})=\lambda \vec{x_{\lambda}}.
[/mm]
Was erhältst Du, wenn Du nun auf beide Seiten [mm] f^{-1} [/mm] anwendest?
Welches ist also der EV von [mm] f^{-1}?
[/mm]
>
> zu der 2. Frage hab ich auch eine Frage:
> Kann f die Eigenwerte von [mm]id_{v}[/mm] haben?
???
wie oben:
Sei [mm] \lambda [/mm] ein EW von f und [mm] \vec{x_{\lambda}} [/mm] ein zugehöriger EV.
Wenn nun [mm] f^2=id [/mm] gilt, dann ist doch für jedes [mm] \vec{x}
[/mm]
[mm] f^2(\vec{x})=\vec{x}.
[/mm]
Also insbesondere [mm] \vec{x_{\lambda}}=f^2(\vec{x_{\lambda}})=f(f(\vec{x_{\lambda}}))=f(...)=??? [/mm] (Linearität ausnutzen!).
Welche Möglichkeiten gibt es also für [mm] \lambda?
[/mm]
Aufgabe 3. geht so ähnlich.
Gruß v. Angela
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