Zusammenhang Inte.-Abl. < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi ich habe mal eine allgemeine Frage.
Man sagt ja immer, die Integration ist die Umkehrung der Ableitung oder umgekehrt. Dazu gibt es ja auch jede Menge Beweise.
Wenn mich aber jetzt ein Schüler fragen würde, wieso das denn so ist, wüsste ich keine gerechte Schülerantwort.
Kennt ihr dort vielleicht erklärende Internetseiten, wo dies eventuell auch graphisch verdeutlich wird? Denn wenn ich mich an meine Schulzeit erinnere, wurde dieser Zusammenhang von uns einfach nur so hingenommen, aber richtig verstanden warum dies so ist, habe ich zumindest nicht.
Grüße
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Hi Aziz,
also ich würde es mittels eines Beweises probieren, indem du [mm]F(x)=\bruch{x^n^+^1}{n+1}[/mm] auf den Differnzenquotienten anwendest, dann eine Polynomdivision ausführst und dann den Grenzwert bildest.
Schöne Grüße
Christoph
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:06 Di 11.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hi Aziz,
>
> also ich würde es mittels eines Beweises probieren, indem
> du [mm]F(x)=\bruch{x^n^+^1}{n+1}[/mm] auf den Differnzenquotienten
> anwendest, dann eine Polynomdivision ausführst und dann
> den Grenzwert bildest.
Was soll das denn ?
FRED
>
> Schöne Grüße
>
> Christoph
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Was hast du denn dagegen?Das ist doch korrekt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:03 Mi 12.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Was hast du denn dagegen?Das ist doch korrekt.
Es ist nicht zu verstehen !!
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:19 Mi 12.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> > Was hast du denn dagegen?Das ist doch korrekt.
>
> Es ist nicht zu verstehen !!
naja, fast nicht. Die Satzstellung ist schlecht:
mathestuden wollte bzgl.
[mm] $$F(x)=x^{n+1}/(n+1)$$
[/mm]
quasi die Ableitung von Hand berechnen. Allerdings zeigt das nur, dass [mm] $F\,$ [/mm] eine Stammfunktion von [mm] $f\,$ [/mm] mit [mm] $f(x)=x^n$ [/mm] ist. Zudem ist ja nicht jede Funktion als Polynom darstellbar (oder etwas weitergreifend: auch mithilfe z.B. der Taylor-Entwicklung wird man so nicht "die allgemeine Aussage, wie sie oben gemeint ist, beweisen können").
Wen's interessiert, auch mathestuden (Fred weiß das eh, da bin ich mir zu mindestens 100 Prozent sicher  :
Schlagwort: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI). Findet man in jedem (vernünftigen) Analysisbuch inklusive Beweis.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:23 Mi 12.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
>
> > > Was hast du denn dagegen?Das ist doch korrekt.
> >
> > Es ist nicht zu verstehen !!
>
> naja, fast nicht. Die Satzstellung ist schlecht:
Nicht nur das ....
> mathestuden wollte bzgl.
> [mm]F(x)=x^{n+1}/(n+1)[/mm]
> quasi die Ableitung von Hand berechnen. Allerdings zeigt
> das nur, dass [mm]F\,[/mm] eine Stammfunktion von [mm]f\,[/mm] mit [mm]f(x)=x^n[/mm]
> ist. Zudem ist ja nicht jede Funktion als Polynom
> darstellbar (oder etwas weitergreifend: auch mithilfe z.B.
> der Taylor-Entwicklung wird man so nicht "die allgemeine
> Aussage, wie sie oben gemeint ist, beweisen können").
>
> Wen's interessiert, auch mathestuden (Fred weiß das eh, da
> bin ich mir zu mindestens 100 Prozent sicher :
.............wenigstens einer , der mir vertraut .....
> Schlagwort: Hauptsatz der Differential- und
> Integralrechnung (HDI). Findet man in jedem (vernünftigen)
> Analysisbuch inklusive Beweis.
Den hab ich doch hier
https://matheraum.de/read?i=757087
nochmal formuliert.
FRED
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:46 Mi 12.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> > Hi,
> >
> > > > Was hast du denn dagegen?Das ist doch korrekt.
> > >
> > > Es ist nicht zu verstehen !!
> >
> > naja, fast nicht. Die Satzstellung ist schlecht:
>
> Nicht nur das ....
ja stimmt. Aber wenn man die Satzstellung ändert, weiß man wenigstens, worauf man dort hinaus wollte (auch, wenn das mehr als dürftig ist).
> > mathestuden wollte bzgl.
> > [mm]F(x)=x^{n+1}/(n+1)[/mm]
> > quasi die Ableitung von Hand berechnen. Allerdings
> zeigt
> > das nur, dass [mm]F\,[/mm] eine Stammfunktion von [mm]f\,[/mm] mit [mm]f(x)=x^n[/mm]
> > ist. Zudem ist ja nicht jede Funktion als Polynom
> > darstellbar (oder etwas weitergreifend: auch mithilfe z.B.
> > der Taylor-Entwicklung wird man so nicht "die allgemeine
> > Aussage, wie sie oben gemeint ist, beweisen können").
> >
> > Wen's interessiert, auch mathestuden (Fred weiß das eh, da
> > bin ich mir zu mindestens 100 Prozent sicher :
>
>
>
> .............wenigstens einer , der mir vertraut .....
>
> > Schlagwort: Hauptsatz der Differential- und
> > Integralrechnung (HDI). Findet man in jedem (vernünftigen)
> > Analysisbuch inklusive Beweis.
>
> Den hab ich doch hier
>
> https://matheraum.de/read?i=757087
>
> nochmal formuliert.
Mir war das klar. Bei Jaruleking und mathestuden bin ich mir nicht sicher, ob sie den Namen dieses Satzes kennen:
Dieser Satz hat ja einfach so eine Wichtigkeit in der Analysis, dass ich ihnen den Namen mitteilen, notfalls nochmal ins Gedächtnis rufen, wollte!!
(Ähnlich, wie man sich eigentlich stets an den Fundamentalsatz der Algebra erinnern können sollte.)
Zudem gibt's in dem Wiki-Link - wie gesagt - auch Verallgemeinerungen.
Natürlich ist auch Dein Beweisaufbau so strukturiert, wie es "meist" getan wird.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:51 Mi 12.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> > > Hi,
> > >
> > > > > Was hast du denn dagegen?Das ist doch korrekt.
> > > >
> > > > Es ist nicht zu verstehen !!
> > >
> > > naja, fast nicht. Die Satzstellung ist schlecht:
> >
> > Nicht nur das ....
>
> ja stimmt. Aber wenn man die Satzstellung ändert,
dazu hatte ich keine Veranlassung ......
> weiß
> man wenigstens, worauf man dort hinaus wollte
na ja, aber ich habe keine Lust, im Nebel zu stochern...
> (auch, wenn
> das mehr als dürftig ist).
>
> > > mathestuden wollte bzgl.
> > > [mm]F(x)=x^{n+1}/(n+1)[/mm]
> > > quasi die Ableitung von Hand berechnen. Allerdings
> > zeigt
> > > das nur, dass [mm]F\,[/mm] eine Stammfunktion von [mm]f\,[/mm] mit [mm]f(x)=x^n[/mm]
> > > ist. Zudem ist ja nicht jede Funktion als Polynom
> > > darstellbar (oder etwas weitergreifend: auch mithilfe z.B.
> > > der Taylor-Entwicklung wird man so nicht "die allgemeine
> > > Aussage, wie sie oben gemeint ist, beweisen können").
> > >
> > > Wen's interessiert, auch mathestuden (Fred weiß das eh, da
> > > bin ich mir zu mindestens 100 Prozent sicher :
> >
> >
> >
> > .............wenigstens einer , der mir vertraut .....
>
>
>
> >
> > > Schlagwort: Hauptsatz der Differential- und
> > > Integralrechnung (HDI). Findet man in jedem (vernünftigen)
> > > Analysisbuch inklusive Beweis.
> >
> > Den hab ich doch hier
> >
> > https://matheraum.de/read?i=757087
> >
> > nochmal formuliert.
>
> Mir war das klar. Bei Jaruleking und mathestuden bin ich
> mir nicht sicher, ob sie den Namen dieses Satzes kennen:
>
> Dieser Satz hat ja einfach so eine Wichtigkeit in der
> Analysis, dass ich ihnen den Namen mitteilen, notfalls
> nochmal ins Gedächtnis rufen, wollte!!
Da hast Du recht, das hatte ich versäumt
Gruß FRED
> (Ähnlich, wie man sich eigentlich stets an den
> Fundamentalsatz der Algebra erinnern können sollte.)
>
> Zudem gibt's in dem Wiki-Link - wie gesagt - auch
> Verallgemeinerungen.
>
> Natürlich ist auch Dein Beweisaufbau so strukturiert, sie
> es "meist" getan wird.
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:11 Di 11.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hi ich habe mal eine allgemeine Frage.
>
> Man sagt ja immer, die Integration ist die Umkehrung der
> Ableitung oder umgekehrt.
So ganz stimmt das nicht.
> Dazu gibt es ja auch jede Menge
> Beweise.
>
> Wenn mich aber jetzt ein Schüler fragen würde, wieso das
> denn so ist, wüsste ich keine gerechte Schülerantwort.
Versuch:
Sei f :[a,b] [mm] \to \IR [/mm] über [a,b] integrierbar. Setzt man nun
$F(x):= [mm] \integral_{a}^{x}{f(t) dt}$ [/mm] für x [mm] \in [/mm] [a,b],
so gilt:
1. F ist auf [a,b] stetig.
2. ist f auf [a,b] stetig , so ist F auf [a,b] differenzierbar und $F'(x)=f(x)$ für x [mm] \in [/mm] [a,b]
F ist also eine Stammfunktion von f
FRED
>
> Kennt ihr dort vielleicht erklärende Internetseiten, wo
> dies eventuell auch graphisch verdeutlich wird? Denn wenn
> ich mich an meine Schulzeit erinnere, wurde dieser
> Zusammenhang von uns einfach nur so hingenommen, aber
> richtig verstanden warum dies so ist, habe ich zumindest
> nicht.
>
> Grüße
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Hi,
ich finde, beim grafischen Ableiten wird der Zusammenhang sehr schön deutlich, d.h. man gibt den Graphen von f, f' oder f'' vor und lässt dann die anderen zeichnen.
Ansonsten liefern die Deutung der Ableitung als Änderungsrate und des Integrals als Wirkung auch einen netten Zusammenhang.
Z.B. gegeben ist eine Durchflussmenge pro Zeit und durch die Integration erhält man die gesamte Durchflussmenge (entspricht einer Wirkung) in einem bestimmten Intervall.
Andersrum: Die Durchflussmenge ist gegeben, mit der Ableitung ermittelt man, wie sich die Durchflussmenge pro Zeiteinheit ändert.
Grundsätzlich muss man natürlich aufpassen: Das mit dem Gegenteil hat Fred ja schon ein wenig genauer beleuchtet - so ganz einfach kann man sich das Leben dann nicht machen. Aber vielleicht helfen dir obige Beispiele ein wenig weiter. Dazu gibt es bestimmt auch Internetseiten, die ich aber jetzt weder parat habe noch suche .
lg weightgainer
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Hallo!
Mir fällt da grade noch ein ziemlich plattes Beispiel ein:
Auf einem Kontoauszug stehen immer die beträge, die hinzu gekommen sind, und die, die abgegangen sind. Aber da steht nich, zu welchem zeitpunkt wie viel geld auf dem Konto war. (Es steht nur da, wieviel es am Anfang und Ende waren).
Angenommen, man hat einen Kontoauszug, auf dem nicht die einzelnen Posten stehen, sonder nur, wieviel pro Tag dazu gekommen ist, oder weg gegangen ist.
Um heraus zu finden, wieviel Geld in einem bestimmen Zeitraum unterm Strich vom Konto weg oder aufs Konto drauf geflossen ist, muß man alle Posten dieses Zeitraums aufaddieren.
Umgekehrt kann man aus einer Liste, wie viel Geld an jedem Tag auf dem Konto ist, die tägliche Kontobewegung "ableiten", indem man die Beträge an aufeinander folgenden Tagen subtrahiert.
Das muß man noch ein wenig verfeinern, es muß noch der "Tag" als "dx" da rein gefrickelt werden, aber ich denke, damit bekommt man eine recht anschauliche Vorstellung, auch wenn sie mathematisch nicht wirklich sauber ist.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:32 Di 11.01.2011 | | Autor: | jaruleking |
ok, danke euch erstmal.
grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:32 Mi 12.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo Jaruleking,
> Hi ich habe mal eine allgemeine Frage.
>
> Man sagt ja immer, die Integration ist die Umkehrung der
> Ableitung oder umgekehrt. Dazu gibt es ja auch jede Menge
> Beweise.
>
> Wenn mich aber jetzt ein Schüler fragen würde, wieso das
> denn so ist, wüsste ich keine gerechte Schülerantwort.
es gibt viele gerechte Schülerantworten - vielleicht suchst Du eher eine schülergerechte Antwort?
Wie Fred schon sagte, stimmt Deine obige Aussage i.a. nicht. Da fehlen Voraussetzungen, ohne die viel schief gehen kann.
Zum Nachschlagen eignet sich hier übrigens wirklich ![[]](/images/popup.gif) Wiki, Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI) - auch als Fundamentalsatz der Analysis bekannt. Es gibt sogar eine verallgemeinerte Version (siehe u.a. bei Hauptsatz für Lebesgue-Integral).
Ein "Standardbeweis" findet sich übrigens normalerweise in jedem (einigermaßen) vernünftigen Analysisbuch, z.B. Heuser, Analysis I, Forster, Analysis I (mithilfe dieser Bücher kann man die Aussage + Beweis sicher auch Schülern zugänglich machen) oder Escher, Analysis II (da wird's vll. ein wenig zu viel für Schüler - jedenfalls wenn man es mit den dortigen Begriffen macht: Banachraum etc.).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:47 Mi 12.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Jaruleking,
>
> > Hi ich habe mal eine allgemeine Frage.
> >
> > Man sagt ja immer, die Integration ist die Umkehrung der
> > Ableitung oder umgekehrt. Dazu gibt es ja auch jede Menge
> > Beweise.
> >
> > Wenn mich aber jetzt ein Schüler fragen würde, wieso das
> > denn so ist, wüsste ich keine gerechte Schülerantwort.
>
> es gibt viele gerechte Schülerantworten - vielleicht
> suchst Du eher eine schülergerechte Antwort?
>
> Wie Fred schon sagte, stimmt Deine obige Aussage i.a.
> nicht. Da fehlen Voraussetzungen, ohne die viel schief
> gehen kann.
Richtig. Zum Beispiel gibt es R-integrierbare Funktionen, die keine Stammfunktionen besitzen und es gibt Funktionen, die Stammfunktionen besitzen , aber nicht R-integrierbar sind.
Das mußte mal wieder gesagt werden, denn aus langjähriger Erfahrung weiß ich: in vielen Köpfen hat sich der Unfug
Integrierbarkeit = Existenz einer Stammfunktion
eingenistet.
Und, ich kanns mir nicht verkneifen: dieser Unfug wird oft an Schulen verbreitet.
FRED
>
> Zum Nachschlagen eignet sich hier übrigens wirklich
> Wiki, Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI) - auch als Fundamentalsatz der Analysis
> bekannt. Es gibt sogar eine verallgemeinerte Version (siehe
> u.a. bei Hauptsatz für Lebesgue-Integral).
>
> Ein "Standardbeweis" findet sich übrigens normalerweise in
> jedem (einigermaßen) vernünftigen Analysisbuch, z.B.
> Heuser, Analysis I, Forster, Analysis I (mithilfe dieser
> Bücher kann man die Aussage + Beweis sicher auch Schülern
> zugänglich machen) oder Escher, Analysis II (da wird's
> vll. ein wenig zu viel für Schüler - jedenfalls wenn man
> es mit den dortigen Begriffen macht: Banachraum etc.).
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:59 Mi 12.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> > Wie Fred schon sagte, stimmt Deine obige Aussage i.a.
> > nicht. Da fehlen Voraussetzungen, ohne die viel schief
> > gehen kann.
>
> Richtig. Zum Beispiel gibt es R-integrierbare Funktionen,
> die keine Stammfunktionen besitzen und es gibt Funktionen,
> die Stammfunktionen besitzen , aber nicht R-integrierbar
> sind.
>
>
> Das mußte mal wieder gesagt werden, denn aus langjähriger
> Erfahrung weiß ich: in vielen Köpfen hat sich der Unfug
>
> Integrierbarkeit = Existenz einer Stammfunktion
>
> eingenistet.
>
> Und, ich kanns mir nicht verkneifen: dieser Unfug wird oft
> an Schulen verbreitet.
>
> FRED
leider. Zumal dann auch noch plötzlich Begriffe wie "Aufleitung" oder "aufleiten" verwendet werden, die mir einen Schauer über den Rücken jagen.^^
P.S.:
An alle hier anwesenden Lehrerinnen und Lehrer: Bitte bitte: Macht's besser bzw. richtig.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:11 Mi 12.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> > > Wie Fred schon sagte, stimmt Deine obige Aussage i.a.
> > > nicht. Da fehlen Voraussetzungen, ohne die viel schief
> > > gehen kann.
> >
> > Richtig. Zum Beispiel gibt es R-integrierbare Funktionen,
> > die keine Stammfunktionen besitzen und es gibt Funktionen,
> > die Stammfunktionen besitzen , aber nicht R-integrierbar
> > sind.
Hallo Marcel
ich denke , ich bin noch Beispiele schuldig:
1. Sei
f(x):=0 für 1 [mm] \le [/mm] x<0 und f(x):=1 für 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1
Dann ist f auf [-1,1] monoton, also R-int.
Aber f besitzt auf [-1,1] keine Stammfunktion. Das zeigt man am einfachsten mit einem Widerspruchsbeweis.
2. Sei
F(x):= [mm] x^{3/2}sin(1/x) [/mm] für 0<x [mm] \le1 [/mm] und F(0):=0
Dann ist F auf [0,1] differenzierbar und für die Funktio f:=F' gilt:
f ist auf [0,1] nicht beschränkt.
Somit ist f auf [0,1] nicht R- int., besitzt aber auf [0,1] die Stammfunktion F.
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> >
> > Das mußte mal wieder gesagt werden, denn aus langjähriger
> > Erfahrung weiß ich: in vielen Köpfen hat sich der Unfug
> >
> > Integrierbarkeit = Existenz einer Stammfunktion
> >
> > eingenistet.
> >
> > Und, ich kanns mir nicht verkneifen: dieser Unfug wird oft
> > an Schulen verbreitet.
> >
> > FRED
>
> leider. Zumal dann auch noch plötzlich Begriffe wie
> "Aufleitung" oder "aufleiten" verwendet werden, die mir
> einen Schauer über den Rücken jagen.^^
................ man kan es nicht oft genug sagen ..............
>
> P.S.:
> An alle hier anwesenden Lehrerinnen und Lehrer: Bitte
> bitte: Macht's besser bzw. richtig.
Dem schließe ich mich an.
Gruß FRED
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:42 Do 13.01.2011 | | Autor: | jaruleking |
Hi Leute, danke euch nochmal.
Den HDI kenne ich natürlich und natürlich habe ich auch einige Beweise dazu hier vorliegen, die man auch sehr gut verstehen kann, auch für Schüler. nur ich dachte, man kann diesen sachverhalt vielleicht irgendwie zeichnerisch sehr gut darstellen, also mit sekante, die dann zur tangente wird etc., um daraus dann den HDI abzulesen oder zu erkennen.
Dennoch danke für eure Beiträge.
Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Sa 15.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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