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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:24 Mi 02.11.2011 | | Autor: | imzadi |
Guten Tag,liebes Forum,
Ich habe mal wieder eine Frage,und zwar:
Es sind zwei quadratische Matrizen gegeben,von denen ich weiss,dass das Produkt der Transponierten einer Matrix mit der anderen Matrix Nullmatrix ergibt.Meine Frage: kann man aus diesem Sachverhalt irgendwie auf den Schnitt der Bilder der beiden Matrizen schliessen? Damit meine Aufgabe klappt, brauche ich ,dass Dimension vom Schnitt der beiden Bildern Null wird. Fuer eure Hilfe bin euch sehr dankbar.Habe diese Frage in keinem anderem Forum auf anderen Seiten gestellt.
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moin imzadi,
Du hast also zwei quadratische Matrizen $A,B$ mit $A^TB = 0$ und du willst zeigen, dass $Bild(A) [mm] \cap [/mm] Bild(B) = [mm] \{0\}$ [/mm] ?
Sind die Matrizen über einem Körper? Über [mm] $\IR$?
[/mm]
Wenn ja würde ich dir einen hübschen Widerspruchsbeweis empfehlen.
Angenommen es gibt ein $y [mm] \not= [/mm] 0$ und passende [mm] $x_1, x_2$ [/mm] mit $y = [mm] Ax_1$ [/mm] sowie $y = [mm] Bx_2$.
[/mm]
Betrachte nun mal $y^Ty$, also das Standardskalarprodukt.
Was weißt du über dieses?
Wie kann dir das (mit dem Wissen, dass $y [mm] \not= [/mm] 0$ ist) zu einem Widerspruch verhelfen?
lg
Schadow
PS: Sollten die Matrizen nicht über [mm] $\IR$ [/mm] sein so erzähl mal über welchem Körper/Ring sie betrachtet werden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:37 Mi 02.11.2011 | | Autor: | imzadi |
Ja,Matrizen sind ueber dem Koerper der reelen Zahlen. Ok, das heisst ich nehme an dass ein Vektor y sowohl im Bild(A) als auch im Bild(B)
Liegt. Weiter ,da habe ich diese Voraussetzung mit dem Produkt der Transponierten mit der Matrix,dass das Null sein muss, und daraus folgere ich , dass Standardskalarprodukt von y mit sich selbst auch Null sein muss (wieso eigentlich?). Und wenn y ungleich Null, dann kann das ja nicht sein, da y nicht orthogonal zu sich selbst sein kann, d.h. Es gibt kein gemeinsames Vektor im Bild(A) und Bild(B) und Schnitt ist leer. So ungefaehr?
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Fast, fast.
Es gibt keinen Vektor ungleich 0 im Schnitt der beiden.
Somit ist der Schnitt gerade [mm] $\{0\}$, [/mm] denn diese muss immer im Schnitt drinn sein.
Die Dimension dieses Unterraums, des sogenannten Nullraums, ist eben gerade 0, so wie du es haben wolltest.
Die Tatsache, dass das Skalarprodukt von y mit sich selbst 0 sein muss kriegst du, wenn du $y = [mm] Ax_1$ [/mm] sowie $y = [mm] Bx_2$ [/mm] geschickt in $y^Ty$ einsetzt.
lg
Schadow
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