Zusammenhang ggT, kgV < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ok, ein Tipp:
Ein Ringschluss ist schön, aber muss nicht immer das leichteste sein.
Hier würde ich $(i) [mm] \gdw [/mm] (iii)$ und $(ii) [mm] \gdw [/mm] (iii)$ empfehlen, das sieht mir spontan am leichtesten aus.
lg
Schadow
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:51 Mi 16.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo DrRiese,
> Seien a,b ganzzahlig.
Wenn die unten von dir angegebene Definition von ggT und kgV die von euch verwendete ist, müssen wir [mm] $a,b\in\IN$ [/mm] voraussetzen, damit die Behauptung stimmt.
> Zeigen Sie die Äquivalenz folgender Aussagen:
> i) Es gibt ein x [mm]\in \IZ[/mm] mit ggT(b,x)=a
> ii) Es gibt ein y [mm]\in \IZ[/mm] mit kgV(a,y)=b
> iii) a teilt b
> Sitze an dieser Aufgabe und habe überhaupt keinen Ansatz.
> Habe mir erstmal die Definitionen aufgeschrieben.
> [mm]ggT(a,b)=max\{t \in \IN | t|a, t|b \}[/mm] und [mm]kgV(a,b)=min\{v \in \IN | a|v, b|v \}.[/mm]
Guter Anfang.
Was bedeuten also die Gleichungen $ggT(b,x)=a$ und $kgV(a,y)=b$ für [mm] $x,y\in\IZ$?
[/mm]
Beachte dabei, dass etwa [mm] $s=\max [/mm] S$ für eine Menge $S$ natürlicher oder reeller Zahlen und eine Zahl $s$ bedeutet:
1. [mm] $s\in [/mm] S$ und
2. $s$ maximal mit dieser Eigenschaft (d.h. [mm] $s\ge [/mm] s'$ für alle [mm] $s'\in [/mm] S$).
Wenn du dir die Bedeutungen von $ggT(b,x)=a$ und $kgV(a,y)=b$ klar gemacht hast, siehst du vermutlich etwas klarer, was eigentlich gegeben und zu tun ist.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:53 Do 17.10.2013 | | Autor: | DrRiese |
Hi, danke für die Antworten 
Also ich hatte jetzt erstmal versucht die Aufgabe folgendermaßen anzugehen: i) [mm] \gdw [/mm] iii) und ii) [mm] \gdw [/mm] iii)
i) [mm] \gdw [/mm] iii):
[mm] \Rightarrow
[/mm]
ggT(b,x)=a [mm] \Rightarrow [/mm] a|b und a|x [mm] \Rightarrow [/mm] also folgt Aussage iii)
[mm] \Leftarrow
[/mm]
a|b [mm] \Rightarrow [/mm] aq=b, q [mm] \in \IZ [/mm] und [mm] \exists [/mm] x [mm] \in \IZ [/mm] mit der obigen Eigenschaft, nämlich a*1=a=x [mm] \Rightarrow [/mm] ggT(b,a)=a
ii) [mm] \gdw [/mm] iii):
[mm] \Rightarrow
[/mm]
kgV(a,y)=b [mm] \Rightarrow [/mm] a|b und y|b [mm] \Rightarrow [/mm] also folgt Aussage iii)
[mm] \Leftarrow
[/mm]
a|b [mm] \Rightarrow [/mm] aq=b, q wie oben, und [mm] \exists [/mm] y [mm] \in \IZ [/mm] mit der obigen Eigenschaft, nämlich b*1=b=y [mm] \Rightarrow [/mm] kgV(a,y)=b [mm] \Box
[/mm]
Könnte man das so machen?
Viele Grüße,
DrRiese
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:32 Do 17.10.2013 | | Autor: | DrRiese |
War ja doch einfacher als gedacht, danke
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