Zusammenhang und konstante Fkt < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:49 Di 16.08.2011 | | Autor: | f12 |
Liebes Forum
Ich bin in "Evans" über folgende Übung gestolpert, welche ich aber leider nicht beweisen kann.
Sei [mm] U \subset \IR^n [/mm] eine offene und zusammenhängende Menge, [mm] u \in W^{1,p}(U)$ [/mm] mit:
[mm] \nabla u = 0 [/mm] a.e.
(wobei hier die schwache Ableitung gemeint ist.) Dann soll daraus folgen, dass [mm] u = c \in \IR [/mm] a.e.
Die Funktion soll also fast überall konstant sein.
Ich denke, dass man folgende Eigenschaft verwenden sollte, dass für [mm] u \in W^{1,p} [/mm] folgendes gilt:
[mm] \parallel u(x+h) - u(x) \parallel_{L^p(U')} \le |h| \parallel \nabla u \parallel_{L^p(U)} [/mm] wobei [mm] U' \subset \subset U [/mm] und [mm] h [/mm] genügend klein ist.
Ich wäre dankbar für Hilfe.
Gruss
f12
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:43 Di 16.08.2011 | | Autor: | Dath |
Ich bin mir nicht so sicher, ob du diese Eigenschaft wirklich verwenden darfst, weil du ja keine Aussage über das [mm]h[/mm] triffst.
Vllt. wäre es eine Möglichkeit, zuerst einen geeigneten Repräsentanten aus [mm]L^{1}[/mm] auszuwählen. Am besten eine Funktion, die wirklich konstant ist. Wir wissen, dass für herkömmlich differenzierbare Funktionen, zu denen die o.g. gehört, die schwache Ableitung mit der herkömmlichen starken Ableitung zusammenfällt (Der Beweis ist einfach!). Da nun aber für eine konstante Funktion die Ableitung im herkömmlichen Sinne 0 ist, folgt die Behauptung. Wichtig ist: Man hat, dass [mm]d_{weak} (u) =[/mm] nur f.ü. Also muss man noch einen geeigneten Repräsentaten für die Ableitung wählen.
Der Bezug zu den Sobolev-Räumen ist noch zu klären: Da mit der Funktion selber auch ihre schwachen Ableitung der Ordnung 1 (in diesem Falle) zu [mm]L^1[/mm] gehören. Dies ist für den Beweis wesentlich!
Im Übrigen ist mir nicht so ganz klar, welche schwache Ableitung du meinst. Da du ja von einem offenen und zusammenhängenden Gebiet im [mm]\IR[/mm] sprichst, gibt es normalerweise partielle schwache Ableitungen (weak partial derivatives). Wäre nett, wenn du das als Miteilung posten oder als PN an mich senden könntest ! ;)
Gruß,
Dath
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:56 Di 16.08.2011 | | Autor: | f12 |
Hallo Dath
Folgendes: Betreffend $\ h $. Das muss wie folgt gewählt werden:
[mm] h < dist(U',\partial U) [/mm]
Dann liegt $\ x+h $ immer noch in $\ U $. Deine Frage bezüglich welchen Ableitungen ich meine, verstehe ich nicht ganz. Kannst du dies nochmals genauer formulieren? Da steht einfach der schwache Gradient. Also ein Vektor, in dem alle die schwachen partiellen Ableitungen drin stehen.
Ich denke schon, dass ich die Gleichung verwenden sollte. Denn wenn doch folgendes gilt:
[mm] \parallel u(x+h) - u(x) \parallel \le 0 \forall h < dist(U',\partial U) [/mm] dann muss $\ u $ konstant sein (fast überall). Oder nicht?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:12 Di 16.08.2011 | | Autor: | f12 |
Hallo Forum
Danke für die Antwort Dath!
Ich lass die Frage noch als unbeantwortet, da ich immer noch denke, dass man es mittels der Charakterisierung zeigen kann. Weiterhin bin ich für Hilfe dankbar.
Gruss
f12
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:21 Mi 31.08.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
