Zusammmenhang von Normalenvek. < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:41 Fr 20.12.2013 | | Autor: | Fee |
| Aufgabe | In einem kartesischen Koordinatensystem sind das Büschel der Ebenen
Ek : kx1 - kx2 + x3 = 8 und der Punkt A (12/12/ 8) gegeben. k ist Element der reellen Zahlen außer 0.
Weisen Sie nach, dass es zu jeder Ebene Ek in dem Ebenenbüschel eine Ebene Ek* gibt, die auf Ek senkrecht steht.
Welcher Zusammenhang muss dann zwischen k und k* sein ? |
Hallo zusammen !
Also, aus der Koordinatenform kann man den Normalenvektor entnehmen, in dem Fall:
Vektor a = (k -k 1)
Wenn zwei Ebenen senkrecht aufeinander stehen, stehen auch die Normalenvektoren der Ebenen senkrecht zueinander.
Das kann man mit dem Skalarprodukt machen :
0 = (k -k 1) * ( n1 n2 n3)
k*n1 + k*n2 + k*n3
n1 = 1
n2 = 2
Diese Zahlen habe ich beliebig eingesetzt.
0 = k*1 + k*2 + n3
0 = -k + n3 I +k
k = n3
vektor n = ( 1 2 k)
Jetzt hat man denke ich nachgewiesen, dass die Ebenen senkrecht zueinander stehen.
Ich verstehe allerdings nicht, welchen Zusammenhang zwischen k und k* sein muss .
Kann man mir da einer helfen ?
Und sind meine Überlegungen eigentlich richtig ?
Vielen Dank !
Eure Fee
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:55 Fr 20.12.2013 | | Autor: | hippias |
> In einem kartesischen Koordinatensystem sind das Büschel
> der Ebenen
> Ek : kx1 - kx2 + x3 = 8 und der Punkt A (12/12/ 8)
> gegeben. k ist Element der reellen Zahlen außer 0.
> Weisen Sie nach, dass es zu jeder Ebene Ek in dem
> Ebenenbüschel eine Ebene Ek* gibt, die auf Ek senkrecht
> steht.
> Welcher Zusammenhang muss dann zwischen k und k* sein ?
> Hallo zusammen !
>
> Also, aus der Koordinatenform kann man den Normalenvektor
> entnehmen, in dem Fall:
> Vektor a = (k -k 1)
> Wenn zwei Ebenen senkrecht aufeinander stehen, stehen auch
> die Normalenvektoren der Ebenen senkrecht zueinander.
> Das kann man mit dem Skalarprodukt machen :
>
> 0 = (k -k 1) * ( n1 n2 n3)
>
> k*n1 + k*n2 + k*n3
>
> n1 = 1
>
> n2 = 2
>
> Diese Zahlen habe ich beliebig eingesetzt.
>
> 0 = k*1 + k*2 + n3
>
> 0 = -k + n3 I +k
Da stimmt wohl etwas nicht...
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> k = n3
>
> vektor n = ( 1 2 k)
>
> Jetzt hat man denke ich nachgewiesen, dass die Ebenen
> senkrecht zueinander stehen.
>
> Ich verstehe allerdings nicht, welchen Zusammenhang
> zwischen k und k* sein muss .
Du hast - bis auf Verrechnen - einen Vektor bestimmt, der orthogonal zu dem Vektor $(k,k,1)$ ist. Dieser von dir ermittelte Vektor kann aber kein Normalenvektor einer Ebene aus der Ebenenschar sein, wie es doch aber gefordert waere. Denn dein Vektor ist nicht kollinear zu einem Vektor der Gestalt $(x,x,1)$. Daran solltest Du bei der Bestimmung von [mm] $k^{\star}$ [/mm] denken.
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> Kann man mir da einer helfen ?
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> Und sind meine Überlegungen eigentlich richtig ?
Im Grunde ja.
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> Vielen Dank !
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> Eure Fee
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