Zwei u. Würfel 2x Pasch < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:48 Do 05.12.2013 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe | Zwei unterscheidbare Würfel werden n-mal hintereinander jeweils gleichzeitig geworfen. (...) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit des folgenden Ereignisses:
A = "genau zweimal sind die beiden gewürfelten Zahlen gleich" |
Hallo,
bei obiger Aufgabe hab' ich eine Frage zur Lösung bzw generell zur Wahrscheinlichkeit des Ereignisses.
Der Ergebnisraum ist $ [mm] \Omega [/mm] = [mm] \{1,...,6\}^{2n} [/mm] $, als $ [mm] \sigma-$Algebra [/mm] hab ich die Potenzmenge $ [mm] P(\Omega) [/mm] $ gewählt. Und das W-Maß ist die diskrete Gleichverteilung.
Nun ist $ [mm] |\Omega| [/mm] = [mm] 6^{2n} [/mm] $
Bei der Mächtigkeit der Menge $ A $ die das Ereignis $ A $ beschreibt habe ich allerdings Schwierigkeiten.
Was ich bisher weiß: $ A $ besteht aus den Elementen $ [mm] \omega [/mm] = [mm] (\omega_{ij}) \in \Omega [/mm] $ mit $ [mm] \omega_{1j} [/mm] = [mm] \omega_{2j} [/mm] $ für zwei feste $ j' [mm] \in \{1,...,n\} [/mm] $ wobei $ i [mm] \in \{1,2\} [/mm] $ die Würfel und $ j [mm] \in \{1,..,n\} [/mm] $ den $ j-$ten Wurf beschreibt. Für alle anderen Würfe $ j [mm] \in \{1,...,n\} \setminus [/mm] J' = [mm] \{j'_{1}, j'_{2}\} [/mm] $ muss also gelten $ [mm] \omega_{1j} \not= \omega_{2j} [/mm] $
Und jetzt weiß ich nicht so recht, wie ich am besten mit diesen Informationen die Mächtigkeit ermitteln soll bzw kann. Jemand Tips für mich?
Freue mich über jede Hilfe!
Viele Grüße,
ChopSuey
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Hallo,
meiner Ansicht nach ist das Stichwort hier Binomialverteilung. Wie du das dann hier notieren sollst, da kann ich dir nicht wirklich weiterhelfen.
Ich hätte allerdings den Ergebnisraum dazu aus Paaren aufgebaut.
Ich stelle malö auf teilweise beantwortet.
Grüße & schönen Abend, Diophant
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> Zwei unterscheidbare Würfel werden n-mal hintereinander
> jeweils gleichzeitig geworfen. (...) Berechnen Sie die
> Wahrscheinlichkeit des folgenden Ereignisses:
>
> A = "genau zweimal sind die beiden gewürfelten Zahlen
> gleich"
> Hallo,
>
> bei obiger Aufgabe hab' ich eine Frage zur Lösung bzw
> generell zur Wahrscheinlichkeit des Ereignisses.
>
> Der Ergebnisraum ist [mm]\Omega = \{1,...,6\}^{2n} [/mm], als
> [mm]\sigma-[/mm]Algebra hab ich die Potenzmenge [mm]P(\Omega)[/mm] gewählt.
> Und das W-Maß ist die diskrete Gleichverteilung.
>
> Nun ist [mm]|\Omega| = 6^{2n}[/mm]
>
> Bei der Mächtigkeit der Menge [mm]A[/mm] die das Ereignis [mm]A[/mm]
> beschreibt habe ich allerdings Schwierigkeiten.
>
> Was ich bisher weiß: [mm]A[/mm] besteht aus den Elementen [mm]\omega = (\omega_{ij}) \in \Omega[/mm]
> mit [mm]\omega_{1j} = \omega_{2j}[/mm] für zwei feste [mm]j' \in \{1,...,n\}[/mm]
> wobei [mm]i \in \{1,2\}[/mm] die Würfel und [mm]j \in \{1,..,n\}[/mm] den
> [mm]j-[/mm]ten Wurf beschreibt. Für alle anderen Würfe [mm]j \in \{1,...,n\} \setminus J' = \{j'_{1}, j'_{2}\}[/mm]
> muss also gelten [mm]\omega_{1j} \not= \omega_{2j}[/mm]
>
> Und jetzt weiß ich nicht so recht, wie ich am besten mit
> diesen Informationen die Mächtigkeit ermitteln soll bzw
> kann. Jemand Tips für mich?
>
> Freue mich über jede Hilfe!
Hallo ChopSuey,
ich weiß zwar nicht mit Sicherheit, was genau du mit
"zwei unterscheidbaren Würfeln" meinst, nehme aber
mal der Einfachheit halber an, dass es sich um zwei
"normale" oder "faire" Spielwürfel handelt, deren Wurf-
ergebnisse gleichverteilt in [mm] $\{1,2,3,4,5,6\}$ [/mm] und voneinander
unabhängig sind.
Man kann sich dann leicht überlegen, dass die gesuchte
Wahrscheinlichkeit identisch sein muss mit der Wahr-
scheinlichkeit, dass man in n Würfen mit einem einzigen
Würfel exakt 2 mal eine 4 würfelt.
(oder irgendeine andere der möglichen Augenzahlen)
LG , Al-Chw.
würfelt
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:07 Do 05.12.2013 | | Autor: | luis52 |
Moin,
schreibe [mm] $\Omega={(x_1,\dots,x_n)\mid x_i=0 \text{ (kein Pasch) oder } x_i=1 \text{ (Pasch)}\}$. [/mm] Setze [mm] $P(\{\omega\})=\left(\dfrac{1}{6}\right)^{\sum x_i}\left(\dfrac{5}{6}\right)^{n-\sum x_i}$. [/mm] Die Loesung der Aufgabe laeuft dann auf Diophants Ansatz hinaus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:08 Mo 09.12.2013 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Leute,
vielen Dank für Eure Hilfe! Ich denke, dass ich nun dahinter gestiegen bin. Ist schon eine ganze Weile her, dass ich Stochastik hatte.
Evtl. meld ich mich erneut bei Rückfragen.
Viele Grüße,
ChopSuey
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