Zweifache Differenzierbarkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien I,J Intervalle in R, f: I-->J eine Abbildung, die auf I zweimal differenzierbar ist und g: J --> R eine Abbildung, die auf J zweimal differenzierbar ist.
Beweisen Sie, dass g(verknüpft)f auf I zweimal differenzierbar ist. |
Ich bin im Moment etwas überfordert mit der Aufgabe. Ich weiß nicht wirklich, worauf ich genau hinmuss. Ich weiß zwar, eine Funktion ist Ableitbar, wenn der Grenzwert [mm] \limes_{x\rightarrow\ x0} [/mm] f(x)- f(x0)/x-x0 existiert. Aber wie ich das genau beweisen soll, weiß ich nicht.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Lg
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Hiho,
je nachdem, was du dafür benutzen darfst, ist das entweder weniger oder mehr umständlich.
Habt ihr die Kettenregel und Produktregel schon bewiesen?
Habt ihr schon den Differenzenquotienten für zweifache Differenzierbarkeit gehabt (vllt. als Übungsaufgabe?).
Wie würdest du denn zeigen, dass die Verknüpfung solcher Funktionen überhaupt einmal differenzierbar ist?
MFG,
Gono.
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Vielen, vielen Dank erstmal für deine Antwort!
Also die Kettenregel und die Produktregel hatten wir schon.
Den Differenzenquotienten für die zweifache Differenzierbarkeit hatten wir noch nicht.
Vielleicht so in die Richtung:
[mm] \limes_{y\rightarrow\ y0} [/mm] g(y) - g(y0) / y-y0 existiert nach Voraussetzung
da y=f(x) und y0=f(x0), existiert der Grenzwert von [mm] \limes_{y\rightarrow\ y0} [/mm] g(f(x)) - (g(f(x0)/ f(x)-f(x0)
und g(f(x)) ist ja die Verknüpfung...
Wäre das mal wenigstens ein halbwegs sinnvoller Ansatz?
Wenn ja, kann ich dann irgendwie auf die zweite Ableitung schließen?
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:20 Sa 06.10.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Vielen, vielen Dank erstmal für deine Antwort!
>
> Also die Kettenregel und die Produktregel hatten wir schon.
Das ist doch gut. Wie lautet die erste Ableitung von [mm] $g\circ [/mm] f$ ? Was kannst du über die Diff'barkeit dieser Ableitung aussagen?
Viele Grüße
Rainer
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also die erste Ableitung von [mm] g\circf [/mm] lautet g'(f(x)) * f'(x).
Nachdem beide Funktionen zweifach differenzierbar sind müsste diese als Verknüpfung von differenzierbaren Funktionen wieder differenzierbar sein, oder? Aber wie soll man das beweisen?
Lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:24 Sa 06.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> also die erste Ableitung von [mm]g\circf[/mm] lautet g'(f(x)) *
> f'(x).
>
> Nachdem beide Funktionen zweifach differenzierbar sind
> müsste diese als Verknüpfung von differenzierbaren
> Funktionen wieder differenzierbar sein, oder?
Ja
Nach der Kettenregel ist x [mm] \to [/mm] g'(f(x)) differenzierbar, f' ist differenzierbar.
Jetzt Produktregel
FRED
>Aber wie soll
> man das beweisen?
>
> Lg
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Also wenn ich die Produktregel noch anwende, kommt heraus: g''(f(x))*f'(x)*f'(x)+g'(f(x))*f''(x)
Aber wie genau hilft mir das in meinem Beweis weiter? Irgendwie steh' ich da am Schlauch...
Lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:19 So 07.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Also wenn ich die Produktregel noch anwende, kommt heraus:
> g''(f(x))*f'(x)*f'(x)+g'(f(x))*f''(x)
[mm] $$=g\,''(f(x))*(f\,'(x))^2+g\,'(f(x))*f\,''(x)$$
[/mm]
> Aber wie genau hilft mir das in meinem Beweis weiter?
die Formel konntest Du doch nur so hinschreiben (für alle $x [mm] \in [/mm] I$), weil
Du die entsprechenden Voraussetzungen zur Anwendung der
Differenzierbarkeit gegeben hattest. Eigentlich braucht man hier auch
weniger rechnen, denn ehrlich gesagt, finde ich das zwar schön, aber bzgl.
der Aufgabenstellung überflüssig. Da steht nirgendwo drin, dass man
auch die Formel für die zweite Ableitung herleiten solle. Nichtsdestotrotz
ist das natürlich eine gute Übung gewesen und es führt auch zum Ziel.
Ich hätte sie aber auch so aufgeschrieben:
Wendet man zunächst die Kettenregel und danach auf die Ableitung
sowohl die Ketten- als auch Produktregel an, so erhält man, dass für
$g [mm] \circ [/mm] f: I [mm] \to \IR$ [/mm] gilt, dass
$$(g [mm] \circ f)\,'': [/mm] I [mm] \to \IR$$
[/mm]
gegeben ist durch
[mm] $$(\*)\;\;\;(g \circ f)\,''=(g\,''\circ f)\;*\;(f\,')^2+(g\,'\circ f)*f\,''\,.$$
[/mm]
Damit kann man nun sagen:
Alle dort auftretenden Funktionen (rechterhand) existieren, weil [mm] $g\,$ [/mm]
zweimal diffbar auf [mm] $J\,$ [/mm] und [mm] $f\,$ [/mm] zweimal diff'bar auf [mm] $I\,$ [/mm] sind.
Also wenn man das so macht: Die erste Ableitung von $g [mm] \circ [/mm] f$ existiert,
weil [mm] $g\,$ [/mm] diff'bar ist, [mm] $f\,$ [/mm] diffbar und nach der Kettenregel dann gilt
[mm] $$(\*\*)\;\;\;(g \circ f)\,'=(g\,'\circ f)*f\,'$$
[/mm]
und insbesondere, weil in der rechten Seite alles definiert ist, zeigt die
Formel [mm] $(\*\*)$ [/mm] ja auch, dass für diff'bares [mm] $f\,$ [/mm] und diff'bares [mm] $g\,$ [/mm] auch
$g [mm] \circ [/mm] f$ diff'bar ist.
In [mm] $(\*)$ [/mm] zeigt die rechte Seite analog, wenn [mm] $f\,$ [/mm] und [mm] $g\,$ [/mm] jeweils
zweimal diff'bar sind, dass die linke Seite existiert. Insofern ist es auch
richtig, dass man mit dieser Formel argumentieren kann. Ich find's aber
trotzdem, wie schon gesagt, ein wenig "overdosed".
> Irgendwie steh' ich da am Schlauch...
Okay, ich mach' mal kürzer, indem ich mir eine Rechnung spare:
Erinnerung:
> Seien I,J Intervalle in R, f: I-->J eine Abbildung, die auf I zweimal
> differenzierbar ist und g: J --> R eine Abbildung, die auf J zweimal
> differenzierbar ist.
> Beweisen Sie, dass g(verknüpft)f auf I zweimal differenzierbar ist.
Nach Voraussetzung sind [mm] $f\,,g$ [/mm] diff'bar, bekanntlich gilt somit nach der
Kettenregel, dass $(g [mm] \circ f)\,'$ [/mm] existiert mit (der Formel, die ich oben
schonmal stehen habe)
[mm] $$(\*\*)\;\;\;(g \circ f)\,'=(g\,'\circ f)*f\,'\,.$$
[/mm]
Setze [mm] $u:=g\,' \circ [/mm] f: I [mm] \to \IR$ [/mm] und [mm] $v:=f\,': [/mm] I [mm] \to \IR.$ [/mm] Um die Existenz von
$(g [mm] \circ f)\,''$ [/mm] einzusehen, reicht es mit $(g [mm] \circ f)\,'=u*v$ [/mm] nun zu
begründen, dass sowohl [mm] $u\,$ [/mm] als auch [mm] $v\,$ [/mm] differenzierbar auf [mm] $I\,$ [/mm] sind.
(Dann folgt mit der Produktregel $(g [mm] \circ f)\,'=u\,'v+uv\,'\,,$ [/mm] was natürlich,
wenn man dort alles einsetzt und die Produktregel nochmal anwendet,
genau [mm] $(\*)$ [/mm] ergibt.)
Aber [mm] $u=(g\,' \circ [/mm] f)$ ist nach der Kettenregel differenzierbar:
Dazu müssen wir nur begründen, warum [mm] $g\,'$ [/mm] differenzierbar und warum
[mm] $f\,$ [/mm] differenzierbar ist. [mm] $g\,'$ [/mm] ist aber diff'bar, weil [mm] $g\,$ [/mm] zweimal diff'bar
war (es ist [mm] $(g\,')\,'=g\,''$), [/mm] und [mm] $f\,$ [/mm] ist diff'bar, weil [mm] $f\,$ [/mm] ja sogar
zweimal diff'bar war.
Für die Produktregel anwenden zu dürfen, müssen wir nun aber auch noch
begründen, warum [mm] $v\,$ [/mm] diff'bar ist: Nunja, [mm] $v=f\,'$ [/mm] ist diff'bar, weil [mm] $f\,$ [/mm]
nach Voraussetzung zweimal diff'bar war.
Damit sind wir fertig - im Endeffekt können wir noch hinschreiben, dass wir
wegen der Produktregel insbesondere sehen
$$(g [mm] \circ f)\,''=u\,'v+uv\,'=(g\,' \circ f)\,'*f\,'+(g\,' \circ f)*f\,''\,.$$
[/mm]
Und dann kann man natürlich sagen:
Wenn man nun aber nach der Kettenregel sowieso weiß, dass
[mm] $(g\,' \circ f)\,'$ [/mm] existiert und wie es aussieht, dann mache man doch
diesen kleinen Zusatz, rechne es aus und setze es ein (damit folgt [mm] $(\*)$).
[/mm]
Aber wenn man den Beweis kurzfasst:
$(g [mm] \circ [/mm] f)$ ist differenzierbar nach der Kettenregel, weil alle
Voraussetzungen zur Anwendung dieser insbesondere gegeben sind
und dann gilt [mm] $(\*\*)\,.$
[/mm]
Aus [mm] $(\*\*)$ [/mm] folgt, dass $(g [mm] \circ f)\,''$ [/mm] existiert, wenn man begründet,
dass (mit obigen [mm] $u\,$ [/mm] und [mm] $v\,$) [/mm] nun [mm] $(u*v)\,'$ [/mm] existiert.
Schaut man nun in die Produktregel, so sieht man:
Nun muss man nur noch argumentieren, warum
1.) [mm] $u\,'$ [/mm] existiert: S.o., da habe ich das gemacht
und
2.) [mm] $v\,'$ [/mm] existiert: S.o. bzw. das ist banal: [mm] $v\,'=(f\,')\,'=f\,''$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:50 So 07.10.2012 | | Autor: | marmelade |
Vielen, vielen Dank, für die ausführliche Antwort!
Ihr habt mir sehr geholfen, und das habe ich jetzt verstanden! :)
Ich wünsche noch einen schönen Tag.
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:40 Sa 06.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
setze bitte Klammern, wenn Du den Formeleditor nicht benutzt:
> g(y) - g(y0) / y-y0
würde in dieser Form bedeuten
[mm] $$g(y)-\frac{g(y_0)}{y}-y_0\,,$$
[/mm]
Du meinst aber
[mm] $$\frac{g(y)-g(y_0)}{y-y_0}\,,$$
[/mm]
was Du (und das überlege Dir bitte SELBST) so zu schreiben hast:
(g(y)-g(y0))/(y-y0)
Und unabhängig davon, dass man aus dem Zusammenhang heraus weiß,
oder erahnen kann, was Du hier meinst: Die Klammern sind zu setzen,
ansonsten steht da einfach "Schmarrn"!!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:14 Sa 06.10.2012 | | Autor: | marmelade |
ich werde zukünftig darauf achten, die Klammern richtig zu setzen.
Lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:21 Sa 06.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ich werde zukünftig darauf achten, die Klammern richtig zu
> setzen.
das ist gut. Es war nicht böse gemeint - aber wie gesagt: Ohne Klammern,
und gerade, wenn es mal nicht so einfach durchschaubar wie hier ist, was
Du meinst, steht da oft wirklich dann nur Schmarrn. Und das wirst Du auch
nicht gut finden, wenn Du Tage mit Diskussionen verbringst, die nur daraus
resultierten, dass Du etwas anderes gemeint hast, als Du geschrieben
hast.
Gruß,
Marcel
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