Zweig von sqrt((z-1)/(z+1)) < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:59 Mo 18.05.2009 | | Autor: | Denny22 |
| Aufgabe | Es sei $f$ der auf [mm] $\IC\backslash[-1,1]$ [/mm] definierte Zweig von [mm] $\sqrt{\frac{z-1}{z+1}}$ [/mm] mit [mm] $\mathrm{Re}(f(i))>0$. [/mm] Berechnen Sie
1.) $f(-i)$
2.) $f(2)$
3.) $f(-2)$ |
Hallo an alle,
irgendwie habe ich keine Idee, wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen soll. Daher wäre es sehr schön, wenn mir jemand dabei behilflich sein könnte.
Danke und Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:09 Mo 18.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Kochrezept:
Nimm [mm] z_0 \in [/mm] { -i, 2, 2 },
berechne [mm] \frac{z_0-1}{z_0+1},
[/mm]
berechne daraus die beiden Wurzeln,
nimm von diesen beiden Wurzeln diejenige mit positivem Realteil
Das ist das gesuchte [mm] f(z_0)
[/mm]
Beispiel:
[mm] z_0 [/mm] = 2,
[mm] \frac{z_0-1}{z_0+1}= \bruch{1}{3}, [/mm]
Wurzeln: [mm] \bruch{1}{\wurzel{3}}, \bruch{-1}{\wurzel{3}},
[/mm]
$f(2) = [mm] \bruch{1}{\wurzel{3}}$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:48 Mo 18.05.2009 | | Autor: | Denny22 |
> Kochrezept:
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> Nimm [mm]z_0 \in[/mm] { -i, 2, 2 },
> berechne [mm]\frac{z_0-1}{z_0+1},[/mm]
> berechne daraus die beiden Wurzeln,
> nimm von diesen beiden Wurzeln diejenige mit
> positivem Realteil
>
> Das ist das gesuchte [mm]f(z_0)[/mm]
>
> Beispiel:
>
> [mm]z_0[/mm] = 2,
> [mm]\frac{z_0-1}{z_0+1}= \bruch{1}{3},[/mm]
> Wurzeln: [mm]\bruch{1}{\wurzel{3}}, \bruch{-1}{\wurzel{3}},[/mm]
>
> [mm]f(2) = \bruch{1}{\wurzel{3}}[/mm]
>
> FRED
>
Super, vielen Dank, Fred. Mithilfe Deines Kochrezeptes löst sich die Aufgabe nahezu von allein. Also für [mm] $z_0=2$ [/mm] hast Du es mir ja schon vorgerechnet und [mm] $z_0=-2$ [/mm] lässt sich analog behandeln. Daher komme ich auf den erste Teil zu sprechen:
1. Wähle
[mm] $z_0=-i$
[/mm]
2. Berechne [mm] $\frac{z_0-1}{z_0+1}$. [/mm] Es gilt:
[mm] $\frac{z_0-1}{z_0+1}=\frac{-i-1}{-i+1}=\frac{(-i-1)(1+i)}{(-i+1)(1+i)}=\frac{-i-1+1-i}{-i+1+1+i}=\frac{-2i}{2}=-i$
[/mm]
3. Wegen [mm] $-i=1\cdot(\cos(-\frac{\pi}{2})+i\sin(-\frac{\pi}{2}))=e^{-i\frac{\pi}{2}}$ [/mm] (ich betrachte mal nur den Hauptwert vom Argument) erhalten wir die Wurzeln von $-i$
[mm] $\sqrt{-i}=(-i)^{\frac{1}{2}}=\left(e^{-i\frac{\pi}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=e^{-i\frac{\pi}{4}}=\cos(-\frac{\pi}{4})+i\sin(-\frac{\pi}{4})$
[/mm]
[mm] $-\sqrt{-i}=-\cos(-\frac{\pi}{4})-i\sin(-\frac{\pi}{4})$
[/mm]
4. Da [mm] $\sqrt{-i}=\cos(-\frac{\pi}{4})+i\sin(-\frac{\pi}{4})$ [/mm] eine positiven Realteil besitzt, gilt
[mm] $f(-i)=\cos(-\frac{\pi}{4})+i\sin(-\frac{\pi}{4})$
[/mm]
Ist das richtig so? Meinst Du mit "brechne die beiden Wurzeln", dass ich [mm] $\sqrt{\bullet}$ [/mm] und [mm] $-\sqrt{\bullet}$ [/mm] berechnen soll?
Danke und Gruß
Denny
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:54 Mo 18.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Ist w [mm] \not= [/mm] 0 eine komplexe Zahl, so gibt es genau 2 komplexe zahlen [mm] z_1, z_2 [/mm] mit:
[mm] $z_k^2 [/mm] = w$ (k=1,2) und [mm] z_1 \not= z_2
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:55 Mo 18.05.2009 | | Autor: | Denny22 |
> Ist w [mm]\not=[/mm] 0 eine komplexe Zahl, so gibt es genau 2
> komplexe zahlen [mm]z_1, z_2[/mm] mit:
>
> [mm]z_k^2 = w[/mm] (k=1,2) und [mm]z_1 \not= z_2[/mm]
>
>
> FRED
Okay, danke. Letzte Frage: Sind meine Berechnungen aus dem vorherigen Post nun richtig?
Danke und Gruss
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:26 Mo 18.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Alles richtig
FRED
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