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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:00 Mo 30.07.2012 | | Autor: | hilado |
| Aufgabe | | Es wird ein zweistufiges Experiment durchgeführt. In der ersten Stufe wird ein Würfel einmal geworfen. Ist das Ergebnis k, so wird in der zweiten Stufe k-mal gewürfelt und jeweils das Ergebnis festgestellt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Summe der Würfe in der zweiten Stufe höchstens 6? |
Also, ich fang mal mit meinem Lösungsvorschlag an. Dazu habe ich mir gedacht, man kann ja das mit Zahlenpartitionen versuchen und ich versuchs mal hier mit geordneten Zahlpartitionen. Die Definition hierfür:
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Für alle k, n [mm] \in \IN [/mm] mit n >= k gilt: Die Anzahl der geordneten k-Partitionen von n ist
[mm]
{ n-1 \choose k-1}
[/mm]
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So, ich hab mir folgendes gedacht. Die Wahrscheinlichkeit, im ersten Wurf eine Zahl zu werfen, liegt ja überall bei 1/6. D.h. ich schau mir dass später nochmal an.
Zunächst schau ich mir mal an, wie die Wahrscheinlichkeit ist, dass die Summe hinterher höchstens Sechs ist.
Wenn im 1. Wurf eine 1 geworfen wird, haben wir folgende Möglichkeiten: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Bei einer 2 haben wir schon mehrere Möglichkeiten: 1+5, 5+1,1+4,4+1, ...
Doch einzeln zu rechnen lohnt sich nicht ...
Dazu nutze ich die Definitionen von den Zahlpartitionen.
Wenn im 1. Wurf eine eins geworfen wird, habe ich so viele Möglichkeiten:
[mm]
{ 0 \choose 0 } + { 1 \choose 0 } + { 2 \choose 0 } + { 3 \choose 0 } + { 4 \choose 0 } + { 5 \choose 0 } = A_1
[/mm]
Wenn im 1. Wurf eine zwei geworfen wird, habe ich so viele Möglichkeiten:
[mm]
{ 1 \choose 1 } + { 2 \choose 1 } + { 3 \choose 1 } + { 4 \choose 1 } + { 5 \choose 1 } = A_2
[/mm]
Bei einer drei:
[mm]
{ 2 \choose 2 } + { 3 \choose 2 } + { 4 \choose 2 } + { 5 \choose 2 } = A_3
[/mm]
usw.
Die Gesamtzahl aller möglichen Augensummen ist so:
[mm]
X = \summe_{n=1}^{36} \summe_{k=1}^{n-1} {n-1 \choose k-1}
[/mm]
Um die Wahrscheinlichkeit auszurechnen, wann die Augensumme höchstens sechs ist, berechnet man dann das nach der Formel:
Ergebnis = [mm] \bruch{1}{6}*(\summe_{k=1}^{6}\bruch{A_k}{X})
[/mm]
Ist meine Lösung richtig? Oder gibt es sogar einen einfacheren Weg?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:33 Di 31.07.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin,
die Zahl $X_$ im Nenner kann ich nicht nachvollziehen. Ich habe sie mal ausgerechnet: $X=68719476700_$. Sie erscheint mir ungebuehrlich gross.
Ich habe folgende Loesung anzubieten: Sei $Y_$ die Augenzahl im ersten
Versuch, $X_$ die im zweiten. Dann ist
[mm] \begin{matrix}
P(X\le6)&=&\sum_yP(X\le6,Y=y) \\
&=&\sum_yP(X\le6\mid Y=y)P(Y=y) \\
&=&\frac{1}{6}\sum_yP(X\le 6\mid Y=y) \\
&=&\frac{1}{6}\sum_y\frac{A_y}{6^y}
\end{matrix}
[/mm]
Auf diese Weise erhalte *ich* [mm] $P(X\le [/mm] 6)=0.3043$.
vg Luis
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