Zweite Ableitung < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:56 Mi 18.04.2007 | | Autor: | peter_d |
| Aufgabe | [mm] $\text{Man beweise mit L'Hospital, dass }$
[/mm]
[mm] $\lim_{t\to 0} \dfrac{f(x+t)-2f(x)+f(x-t)}{t^2} [/mm] = f''(x)$ |
Hallo.
Kann mir mal einer bitte erklären, wie man auf diesen Term den l'Hospital anwenden soll/kann?
Ich versteh es nämlich nicht ...
Danke und Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:09 Mi 18.04.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
Der Grenzwert soll für t gegen 0 berechnet werden, also betrachtet man f als eine Funktionen von t.
L'Hospital muss zweimal angewendet werden
Bei einmaligem Anwenden folgt
[mm] \limes_{t\rightarrow\ 0}\br{f'(x+t)-f'(x-t)}{2t}=\br{0}{0}
[/mm]
Nochmal anwenden ergibt
[mm] \limes_{t\rightarrow\ 0}\br{f''(x+t)+f''(x-t)}{2}=f''(x)
[/mm]
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:46 Mi 18.04.2007 | | Autor: | peter_d |
Stimmt, t-> 0, so kann ich l'Hospital anwenden, hab ich irgendwie verpeilt... herzlichen dank dafür!
warum kann ich aber nicht davon ausgehen, wenn der grenzwert existiert, die stetigkeit von f in x nicht folgt?
danke und gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:04 Mi 18.04.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
da f''(x) existiert ist natürlich auch f stetig in x.
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:21 Mi 18.04.2007 | | Autor: | peter_d |
Wenn dieser Grenzwert existiert, bedeutet das doch nicht, dass f in x stetig ist... ?? Es geht doch um die zweite Ableitung... ??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:30 Mi 18.04.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
wenn die 2'te Ableitung in x existiert dann auch die 1'te Ableitung von f in x. Wenn aber f in x differenzierbar ist, dann ist f auch stetig in x.
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:38 Mi 18.04.2007 | | Autor: | peter_d |
Moin.
Das sehe ich auch so, denn es heißt ja, wenn f in x diffbar ist, dann auch stetig (aber halt nicht umgekehrt..)
Doch die Afg. geht so weiter:
"Zeigen Sie außerdem, dass aus der Existenz des Grenzwertes nicht einmal die Stetigkeit von $f$ in $x$ folgt."
Danke und Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:50 Mi 18.04.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
ja, das versteh ich auch nicht. Also die 2'te Ableitung existiert ja auf jeden Fall in x. Meiner Meinung ist da was an der Aufgabenstellung nicht richtig.
Vielleicht fällt ja noch jemand anderem was ein.
mfg ullim
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:58 Mi 18.04.2007 | | Autor: | peter_d |
trotzdem dank dir :)
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