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Hallo!
Ich habe in einem Prüfungsprotokoll gelesen, dass nach einer Anwendung des reellen Zwischenwertsatzes gefragt wurde und die Antwort lauten sollte, dass man damit eine Ebene durch eine Gerade in zwei gleich große Teile teilen kann. Da sehe ich bisher keinen Zusammenhang. Kann mir jemand dabei helfen? 
Liebe Grüße, Lily
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:31 Mo 07.11.2016 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo!
> Ich habe in einem Prüfungsprotokoll gelesen, dass nach
> einer Anwendung des reellen Zwischenwertsatzes gefragt
> wurde und die Antwort lauten sollte, dass man damit eine
> Ebene durch eine Gerade in zwei gleich große Teile teilen
> kann. Da sehe ich bisher keinen Zusammenhang. Kann mir
> jemand dabei helfen?
kannst Du das mal genauer zitieren? Denn ich frage mich, was bei einer
Halbebenen deren Größe ist, wenn sie doch in eine Richtung unendlich
weit geht. Die Fläche ergibt also wenig Sinn zum vergleichen ^^
Gruß,
Marcel
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Da steht:
“Zwischenwertsatz mit Beweis, Anwendung: Der Flächeninhalt einer Ebene wird von einer Geraden in zwei gleich große Teile geteilt. Er wollte irgendeine Funktion, die ich mit Hilfe des Zwischenwerrsatzes bestimmen sollte.“
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> Da steht:
> “Zwischenwertsatz mit Beweis, Anwendung: Der
> Flächeninhalt einer Ebene wird von einer Geraden in zwei
> gleich große Teile geteilt. Er wollte irgendeine Funktion,
> die ich mit Hilfe des Zwischenwerrsatzes bestimmen
> sollte.“
>
Hallo,
Sinn würde folgendes ergeben: Ein (beliebiges) geometrisches Objekt in der Ebene mit endlicher Fläche kann durch eine Gerade in zwei gleich große Teile geteilt werden. Dies kann mit dem Zwischenwertsatz begründet werden.
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Danke für die schnelle Antwort!
Ja, das macht Sinn, aber wie kann das durch den ZWS begründet werden?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:21 Mo 07.11.2016 | | Autor: | Marcel |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
> Danke für die schnelle Antwort!
> Ja, das macht Sinn, aber wie kann das durch den ZWS
> begründet werden?
wenn ich das richtig sehe, kann die Gerade auch einfach als Gerade parallel
zur x-Achse gefunden werden. Denn:
Für $y_0 \in \IR$ sei $F(y_0):=$ "Fläche des Objekts, die unterhalb der Geraden
$y=y_0$ liegt". (Ist das Objekt etwa ein Kreis mit Radius 1, dessen Mittelpunkt
auf der x-Achse liegt, so ist $F(0)=\pi*1^2/2=\pi/2$... und es wäre $F(1)=\pi*1^2=\pi$.)
Dann gilt, dass $A:=\lim_{y \to \infty}F(y)$ existiert (das ist einfach nur die Fläche
des Objekts) und $\lim_{y \to -\infty}F(y)=0$ ist. Beachte bitte, dass nirgends gesagt
wurde, dass das Objekt "einen endlichen Rand" hat - z.B. ist die Fläche
unter dem Graphen von $f \colon [2,\infty) \to \IR$ mit $f(x):=1/x^2$ ja auch endlich,
denn es ist ja $\int_2^\infty (1/x^2)dx=[-1/x]^{\infty}_2=1/2\,.$
Aber jedenfalls gibt es $y_1 \in \IR$ mit $F(y_1)=A/3$ und $y_2 \in \IR$ mit $F(y_2)=(2/3)*A$ (dabei
wird wohl $y_2 > y_1$ gelten).
Wende nun den ZWS auf $\left.F\right|_{[y_1,y_2]}$ an.
P.S. Ist nur eine Beweisskizze. Natürlich kannst Du auch $G(y):=\tfrac{F(y)}{A}$ betrachten
und $G(y_1)=1/3$, $G(y_2)=2/3$ benutzen und dann zeigen, dass $G\,$ an einer
Stelle den Wert $1/2$ annimmt ($F\,$ nimmt dort den Wert $A/2\,$ an).
So ganz elementar finde ich es nicht, dass $F\,$ stetig ist. Dafür müßte man sicher
die geometrischen Objekte endlicher Fläche noch charakterisieren oder
irgendein Wissen dahingehend reinstecken. Vielleicht habt Ihr sowas ja
in der Vorlesung mal gemacht - oder es hat was mit dem Rand solcher
Objekte zu tun, dass dieser (stückweise) stetig beschrieben werden kann.
Da kann ich momentan nur spekulieren. Vielleicht kann auch jemand den
Beweis richtig und vollständig ergänzen. :)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:03 Do 10.11.2016 | | Autor: | donquijote |
> Hallo,
>
> > Danke für die schnelle Antwort!
> > Ja, das macht Sinn, aber wie kann das durch den ZWS
> > begründet werden?
>
> wenn ich das richtig sehe, kann die Gerade auch einfach als
> Gerade parallel
> zur x-Achse gefunden werden. Denn:
> Für [mm]y_0 \in \IR[/mm] sei [mm]F(y_0):=[/mm] "Fläche des Objekts, die
> unterhalb der Geraden
> [mm]y=y_0[/mm] liegt". (Ist das Objekt etwa ein Kreis mit Radius 1,
> dessen Mittelpunkt
> auf der x-Achse liegt, so ist [mm]F(0)=\pi*1^2/2=\pi/2[/mm]... und
> es wäre [mm]F(1)=\pi*1^2=\pi[/mm].)
>
> Dann gilt, dass [mm]A:=\lim_{y \to \infty}F(y)[/mm] existiert (das
> ist einfach nur die Fläche
> des Objekts) und [mm]\lim_{y \to -\infty}F(y)=0[/mm] ist. Beachte
> bitte, dass nirgends gesagt
> wurde, dass das Objekt "einen endlichen Rand" hat - z.B.
> ist die Fläche
> unter dem Graphen von [mm]f \colon [2,\infty) \to \IR[/mm] mit
> [mm]f(x):=1/x^2[/mm] ja auch endlich,
> denn es ist ja [mm]\int_2^\infty (1/x^2)dx=[-1/x]^{\infty}_2=1/2\,.[/mm]
>
> Aber jedenfalls gibt es [mm]y_1 \in \IR[/mm] mit [mm]F(y_1)=A/3[/mm] und [mm]y_2 \in \IR[/mm]
> mit [mm]F(y_2)=(2/3)*A[/mm] (dabei
> wird wohl [mm]y_2 > y_1[/mm] gelten).
>
> Wende nun den ZWS auf [mm]\left.F\right|_{[y_1,y_2]}[/mm] an.
>
> P.S. Ist nur eine Beweisskizze. Natürlich kannst Du auch
> [mm]G(y):=\tfrac{F(y)}{A}[/mm] betrachten
> und [mm]G(y_1)=1/3[/mm], [mm]G(y_2)=2/3[/mm] benutzen und dann zeigen, dass
> [mm]G\,[/mm] an einer
> Stelle den Wert [mm]1/2[/mm] annimmt ([mm]F\,[/mm] nimmt dort den Wert [mm]A/2\,[/mm]
> an).
>
> So ganz elementar finde ich es nicht, dass [mm]F\,[/mm] stetig ist.
> Dafür müßte man sicher
> die geometrischen Objekte endlicher Fläche noch
> charakterisieren oder
> irgendein Wissen dahingehend reinstecken. Vielleicht habt
> Ihr sowas ja
> in der Vorlesung mal gemacht - oder es hat was mit dem
> Rand solcher
> Objekte zu tun, dass dieser (stückweise) stetig
> beschrieben werden kann.
> Da kann ich momentan nur spekulieren. Vielleicht kann auch
> jemand den
> Beweis richtig und vollständig ergänzen. :)
Hallo,
zunächst verstehe ich die Frage so, dass es um eine mündliche Prüfung geht, wo vermutlich kein im Detail ausgearbeiteter Beweis gefragt ist.
Hier trotzdem eine Beweisskizze:
Im Fall einer beschränkten Menge A mit wohldefinierter Fläche (*) gibt es eine Konstante b mit [mm]|x|\le b[/mm] für alle [mm](x,y)\in A[/mm]. Für deine Funktion F folgt [mm]|F(y_2)-F(y_1)|\le 2b*|y_2-y_1|[/mm] (die "Differenzfläche" liegt innerhalb eines Rechtecks mit Breite 2b und Höhe [mm]|y_2-y_1|[/mm]), woraus sofort die Stetigkeit von F folgt.
(*) A sollte Borel- oder Lebesgue-messbar sein. Können diese Begriffe nicht vorausgesetzt werden, tun es auch Objekte mit glattem Rand etc. Aber selbst bei einer nicht messbaren Menge wäre die Funktion F stetig, wenn man das äußere Maß betrachtet.
Ist A unbeschränkt, stellen wir zunächst fest, dass F monoton wachsend ist. Unstetigkeiten können damit allenfalls an Sprungstellen auftreten.
Es gibt zu jedem [mm]\epsilon>0[/mm] ein b, so dass die Fläche des außerhalb des "Streifens" [mm]\{(x,y):|x|\le b\}[/mm] gelegenen Teils von A kleiner als [mm]\epsilon[/mm] ist. Es folgt [mm]|F(y_2)-F(y_1)|\le 2b*|y_2-y_1|+\epsilon[/mm], wobei [mm]\epsilon[/mm] von [mm]y_1[/mm] und [mm]y_2[/mm] unabhängig ist. Somit können Sprungstellen von F maximal die Höhe [mm]\epsilon[/mm] haben. Da [mm]\epsilon[/mm] beliebig klein gewählt werden kann, hat F keine Sprungstellen und ist somit stetig.
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> Gruß,
> Marcel
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