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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:20 Mi 16.01.2008 | | Autor: | Sajuri |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Gleichung [mm] e^{cosx}+x^{7}=-sin(e^{3x}) [/mm] mindestens eine Lösung [mm] x_{0} [/mm] besitzt. |
Ich denke, dass man diese Aufgabe mit Hilfe des Zwischenwertsatzes lösen kann. Mann muss zuerst x wählen, für den [mm] f(x)=e^{cosx}+x^{7}+sin(e^{3x}) [/mm] > 0 und x, für den f(x)<0. Damit werden die Voraussetzungen des Zwischenwertsatzes und Nullstellensatzes erfüllt. Und dann kann man sagen, dass die Gleichung mindestens eine Lösung besitz.
Nun gilt: f(0)=e+1+sin(1)>0
mein Problem ist x zu finden, für den f(x) eindeutig <0 ist.
Vielleicht könnt mir jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:38 Mi 16.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Schau dir doch mal den Wertebereich der Teilfunktionen an.
[mm] f(x)=\underbrace{e^{cosx}}_{\IW=[\bruch{1}{e};e]}+\underbrace{x^{7}}_{\IW=(-\infty;\infty)}+\underbrace{sin(e^{3x})}_{\IW=[-1;1]}
[/mm]
Was vermutest du also über den Gesamten Wertebereich?
Du brauchst ja keine spezeileln Werte finden, du musst nur zeigen, dass es irgendein [mm] x_{+} [/mm] gibt mit [mm] f(x_{+})>0 [/mm] und dass es ein [mm] x_{-} [/mm] gibt, mit [mm] f(x_{-})<0.
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 Mi 16.01.2008 | | Autor: | Sajuri |
Danke, Marius
dann ist der gesamte Wertebereich [mm] (-\infty; [/mm] + [mm] \infty). [/mm] So einfach!:).
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:00 Mi 16.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
> Danke, Marius
>
> dann ist der gesamte Wertebereich [mm](-\infty;[/mm] + [mm]\infty).[/mm] So
> einfach!:).
Yep, so ist es. Und damit sollte die weitere Begründung mit den Zwischenwertsatz kein Problem mehr sein.
Marius
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