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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:09 Do 18.08.2011 | | Autor: | frato |
| Aufgabe | | Die Funktion [mm] f:]0;\infty[ [/mm] -> R sei gegeben durch f(x) = [mm] 2e^{x}-x, [/mm] mit [mm] x\in ]0;\infty[. [/mm] Zeigen Sie: [mm] f(]0;\infty[)=]2;\infty[ [/mm] |
Ola,
ich habe eine Frage zum Zwischenwertsatz:
Bei der Aufgabe habe ich bis jetzt gezeigt, dass [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f(x) = [mm] +\infty [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\0+} [/mm] f(x) = 2 gilt.
Mit der Ableitung von f(x) habe ich dann gezeigt, dass die Funktion streng monoton wachsend ist und somit [mm] W_{f}\subseteq ]2;\infty[.
[/mm]
Bis hierher war es auch kein Problem.
Jetzt muss doch noch [mm] ]2;\infty[ \subseteq W_{f} [/mm] gezeigt werden.
In der Lösung wird dies über den Zwischenwertsatz gemacht:
Für alle [mm] y\in]2;\infty[ [/mm] gibt es wegen [mm] \limes_{n\rightarrow\0+} [/mm] f(x) = 2
ein 0<a<1 mit f(a)<y und wegen [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f(x) = [mm] +\infty [/mm] ein b>1 mit y<f(b) (<---das ist der Teil, den ich nicht verstehen), so dass nach dem Zwischenwertsatz ein [mm] \varepsilon\in [/mm] ]a,b[ mit [mm] f(\varepsilon)=y.
[/mm]
Ich verstehe nicht wieso es zwischen 0 und 1 ein a gibt mit f(a)<y. Wieso gilt das nur bis 1 bzw. wieso macht man das nur bis 1? Wäre es auch möglich zu schreiben 0<a<2 mit f(a)<y und b>2 mit y<f(b)...
Vielen Dank wieder einmal.
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> Ich verstehe nicht wieso es zwischen 0 und 1 ein a gibt mit
> f(a)<y. Wieso gilt das nur bis 1 bzw. wieso macht man das
> nur bis 1? Wäre es auch möglich zu schreiben 0<a<2 mit
> f(a)<y und b>2 mit y<f(b)...
Ja, das wäre auch möglich.
Du könntest auch 0,5 oder jede beliebige andere Grenze größer 0 nehmen.
Das ist einzig damit man nicht noch extra a<b überprüfen muss.
Denn a<b muss gelten, da dann ja auch f(a)<f(b) gilt (wie du richtig gezeigt hast ist f streng monoton wachsend).
Wäre a>b wäre auch f(a)>f(b) und somit wäre f(a)<y<f(b) nicht mehr erfüllbar.
Also diese Grenze bei der 1 wurde einzig gesetzt um sich "sei a<b" zu sparen.
Ist dir ansonsten klar wieso es a und b gibt mit f(a)<y<f(b) oder gibts da noch Unklarheiten?
> Vielen Dank wieder einmal.
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 Fr 19.08.2011 | | Autor: | frato |
Also zu allererst mal vielen Dank. Das erste hab ich dann richtig verstanden ;).
Was der Zwischenwertsatz aussagt, und wieso er gilt, ist mir auch klar.
Nur ist mir, wie du schon sagst, nicht ganz klar, wieso es a und b gibt mit f(a)<y<f(b)?!
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Ok, dann nehmen wir uns doch mal ein beliebiges $y [mm] \in (0,\infty)$
[/mm]
(runde Klammern bedeuten offenes Intervall)
Nun wollen wir zeigen, dass es für dieses gewählte y Werte für a,b [mm] $\in (0,\infty)$ [/mm] gibt, sodass $f(a) < f(y) < f(b)$
(Anmerkung: Das was oben y heißt heißt hier jetzt f(y), aber da f injektiv ist ändert das nix an der Argumentation - es ist dann ja $f(y) [mm] \in (2,\infty)$).
[/mm]
Nun benutzen wir die Tatsache, dass f streng monoton wachsend ist.
Dann gilt nämlich:
$f(a) < f(y) < f(b) [mm] \gdw [/mm] a < y < b$
Stellt sich nun die Frage:
Finden wir für unser $y [mm] \in (0,\infty)$ [/mm] solche a und b?
Da nehmen wir einfach:
$a := [mm] \frac{y}{2}$
[/mm]
$b := y+1$
Es ist ja offensichtlich (da y > 0):
[mm] $\frac{y}{2} [/mm] < y < y+1
Und somit also auch:
[mm] $f(\frac{y}{2}) [/mm] < f(y) < f(y+1)
Und das ist genau das, was wir haben wollten.
Wir finden also für jedes y (bzw. für jedes f(y) ) die gewünschten a,b und somit kann der Zwischenwertsatz problemlos benutzt werden.
MfG
Schadowmaster
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:28 Fr 19.08.2011 | | Autor: | frato |
Da kann ich nur vielen vielen Dank sagen. Jetzt hab ich es endlich komplett verstanden und das hilft mir sehr weiter ;).
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