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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:12 Mi 11.04.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Sei f(x) = $ [mm] e^x [/mm] $ sin(x). MAn zeige,
(b) mit Hilfe des Satzes von Rolle (angewendet auf f) und (als Alternative) mit Hilfe des Zwischenwertsatzes (angewendet auf f'), dass es ein $ [mm] x_0 \in [/mm] $ (0, $ [mm] \pi/2) [/mm] $ gibt mit $ [mm] f'(x_0) [/mm] $ = 0 |
f'(x) = [mm] e^x [/mm] * sin(x) + [mm] e^x [/mm] * cos(x)
f(0)=0
[mm] f(\pi/2)=e^{\pi/2}
[/mm]
f'(0)=1
[mm] f'(\pi/2) [/mm] = [mm] e^{\pi/2}
[/mm]
Wenn ich den Satz von ROlle anwende muss aber f(a) mit f(b) übereinstimmen.
Eimne Funktion, die im offenen Intervall (a,b) differenzierbar und und im abgeschlossen Intervall stetig ist und außerdem f(a) = f(b) erfüllt, hat an mindestens einer Stelle [mm] x_0 [/mm] aus (a,b) die Ableitung Null-
Und beim Zwischenwertsatz muss doch f(a) < 0 und f(b)>0 oder umgekehrt sein um in anwenden zu können?
Wo ist mein Gedankenfehler?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:53 Mi 11.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei f(x) = [mm]e^x[/mm] sin(x). MAn zeige,
>
> (b) mit Hilfe des Satzes von Rolle (angewendet auf f) und
> (als Alternative) mit Hilfe des Zwischenwertsatzes
> (angewendet auf f'), dass es ein [mm]x_0 \in[/mm] (0, [mm]\pi/2)[/mm] gibt
> mit [mm]f'(x_0)[/mm] = 0
> f'(x) = [mm]e^x[/mm] * sin(x) + [mm]e^x[/mm] * cos(x)
>
> f(0)=0
> [mm]f(\pi/2)=e^{\pi/2}[/mm]
>
> f'(0)=1
> [mm]f'(\pi/2)[/mm] = [mm]e^{\pi/2}[/mm]
>
> Wenn ich den Satz von ROlle anwende muss aber f(a) mit f(b)
> übereinstimmen.
> Eimne Funktion, die im offenen Intervall (a,b)
> differenzierbar und und im abgeschlossen Intervall stetig
> ist und außerdem f(a) = f(b) erfüllt, hat an mindestens
> einer Stelle [mm]x_0[/mm] aus (a,b) die Ableitung Null-
>
> Und beim Zwischenwertsatz muss doch f(a) < 0 und f(b)>0
> oder umgekehrt sein um in anwenden zu können?
>
>
> Wo ist mein Gedankenfehler?
ich nehme an, in der Aufgabenstellung ist ein Tippfehler:
Anstatt [mm] $f\,$ [/mm] auf [mm] $[0,\pi/2]$ [/mm] sollte man wohl eher [mm] $f\,$ [/mm] auf [mm] $[0,\red{\pi}]$ [/mm] betrachten.
Den Hinweis kannst Du gerne dem Aufgabensteller geben.
Denn:
[mm] $f(x)=e^x*\sin(x)$ [/mm] hat als Ableitung [mm] $f'(x)=e^x*\sin(x)+e^x*\cos(x)=e^x(\sin(x)+\cos(x))\,,$ [/mm] und es ist leicht einzusehen, dass [mm] $\sin(x)+\cos(x) [/mm] > 0$ auf [mm] $[0,\pi/2]$ [/mm] gilt [mm] ($e^x [/mm] > 0$ gilt ja eh für alle reellen [mm] $x\,$): $f\,$ [/mm] ist dort also streng monoton wachsend!
Ein Plot bestätigt das auch!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:05 Mi 11.04.2012 | | Autor: | sissile |
Okay, der Satz von rolle ist nun verständlich da
[mm] f(0)=f(\pi)
[/mm]
Und dann kann man ja den Satz anwenden.
Und beim Zwischenwertsatz auf f' angewandt
f'(x) = $ [mm] e^x [/mm] $ * sin(x) + $ [mm] e^x [/mm] $ * cos(x)
f'(0)=1
[mm] f'(\pi) [/mm] = - [mm] e^{\pi} [/mm]
kann man den Zwischenwertsatz anwenden
Muss man in der Aufgabe noch viel mehr machen?
LG
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> Muss man in der Aufgabe noch viel mehr machen?
Hallo,
nein.
Nur gut aufschreiben.
LG Angela
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